Question

Докажите, что четырехугольник с вершинами е(-2 ; 0), f(2; 2), м(4; -2) и n(0; -4) является квадратом

Answer 1

Вектор EF имеет координаты (2-(-2); 2-0) = (4; 2). Его длина
$|EF|=\sqrt{4^2+(2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\\$
Вектор FM имеет координаты (4-2; -2-2) = (2; -4). Его длина
$|FM|=\sqrt{(2)^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$
Вектор MN имеет координаты (0-4; -4-(-2)) = (-4; -2). Его длина
$|MN|=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt20$
Вектор NE имеет кооординаты (-2-0; 0-(-4)) = (-2; 4). Его длина
$|NE|=\sqrt{(-2)^2+(4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$
Все стороны четырёхугольника равны. Найдём углы между ними:
$\cosE=\frac{\bar{EF}\cdot\bar{NE}}{|EF|\cdot|NE|}=\frac{4\cdot(-2)+2\cdot4}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{20}}=\frac{-8+8}{20}=0\Rightarrow E=90^o$
$\cosF=\frac{\bar{EF}\cdot\bar{FM}}{|EF|\cdot|FM|}=\frac{4\cdot2+2\cdot(-4)}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{20}}=\frac{8-8}{20}=0\Rightarrow F=90^o$
$\cosM=\frac{\bar{MN}\cdot\bar{FM}}{|MN|\cdot|FM|}=\frac{(-4)\cdot2+(-2)\cdot(-4)}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{20}}=\frac{-8+8}{20}=0\Rightarrow M=90^o$
$\cosN=\frac{\bar{MN}\cdot\bar{NE}}{|MN|\cdot|NE|}=\frac{(-4)\cdot(-2)+(-2)\cdot4}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{20}}=\frac{8-8}{20}=0\Rightarrow N=90^o$
Все стороны равны, угол между сторонами прямой. Значит, EFMN - квадрат.