пусть сторона квадрата равна К, тогда
S=K^2 (1)
Но также мы знаем, что
S=P*r/2=2К*r/2 (где r-радиус вписанноу окружности) (2)
Теперь рассмотрим треугольник
центр окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров, тогда рассмотримт треугольник образованный половиной стороны, серединным перпендикуляром и радиусом окружности, (радиус совпадет с биссектрисой и с другим серединным перпендикуляром т. к. это правильный треугольник) значит острый угол рассматриваемого треугольника равен 60/2=30 Соответственно:
a/(2r)=cos30
r=a/2cos30=a/корень из 3 (3)
Подставлю формулу 3 в формулу 2 и приравняю формулы 1 и 2 получу результат:
К=а/корень из 3
S=K^2=a^2:3
ответ a^2:3
1. Сторона прямоугольника, параллельная основанию a, пусть равна x*a. Тогда вторая сторона прямоугольника, параллельная высоте треугольника h, равна (1 - х)*h, а площадь прямоугольника равна Sp = a*h*x*(1-x) = 2*S*x*(1 -x) (где S - площадь треугольника).
Все эти простенькие соотношения автоматически следуют из того, что боковая сторона (пусть она равна b, в решении она не нужна) треугольника делится вершиной прмоугольника на отрезки (считая от вершины, противоположной основанию) b*x и, сответственно, b*(1-x).
2. В условии задано, что отношение a*x и h*(1-x) равно 2, но не сказано, какая больше. Это означает, что h*(1 - x)/(a*x) = k; где к может принимать значения 2 или 1/2.
Отсюда легко получить x = 1/(k*a/h + 1);
если подставить это в выражение для площади Sp = a*h*x*(1-x); получается
Sp = a^2*k/(k*a/h + 1)^2;
3. В полученном выражении известно все, кроме h. Но в условии задан косинус угла при вершине (я обозначу его α).
cos(α) = 21/29; отсюда sin(α) = 20/29; (тут - Пифагорова тройка 20,21,29)
Легко видеть, что (a/2)/h = tg(α/2) = sin(α)/(1 + cos(α)) = 2/5;
и выражение для площади прямоугольника принимает вид
Sp = a^2*k/(2*k*tg(α/2) + 1)^2; ну, вот он - ответ.
18,2^2 = 331,24; 2*tg(α/2) = 4/5;
при k = 2
Sp = 331,24*2/(8/5 + 1)^2 = 98;
при к = 1/2
Sp = 331,24*(1/2)/(2/5 + 1)^2 = 84,5;