Розглянемо рівнобедренний прямокутний трикутник із катетом а. Радіус кола вписаного в нього буде дорівнювати: Це за формулою для радіуса кола вписаного в прямокутний трикутник: Радіуси менших кіл (див. рис.): За умовою задачі площа великого кола вдвічі більша за площу маленького кола, тобто відношення їх радіусів дорівнює Знайдемо відношення радіусів відповідних кіл для нашого рівнобедренного прямокутного трикутника, тобто: Тобто має таку саму величину, як і по умові задачі. Покажемо, що для іншого виду прямокутних трикутників, крім рівнобедринних, такого відношення між радіусами кіл, що вказані в умові, бути не може. Радіус кола вписаного в прямокутний трикутник обчислюєтсья за формулою: де s= а*в/2 - площа прямокутного трикутника Цей добуток а*в, як відомо, буде найбільший, коли а=в, тобто катети прямокутного трикутника рівні між собою. Всі інші вписані кола в любі інші прямокутні трикутники, за площею будуть менші від кола вписаного в рівнобедринний прямокутний трикутник, тобто умова задачі в цьому випадку виконуватись не буде. Значить гострі кути цього прямокутного трикутника рівні і дорівнюють 45. Відповідь:
Очка пересечения - т. О нарисуйте это. так будет понятнее. сначала докажем, что треугольник AOD = треульнику BOC. Есть признак равенства треугольников такой, что если две стороны одного треугольника и угол между ними равны двум сторронам и углу между ними второго треугольника, то треугольники эти равны. (BO=OD и AO=OC) а раз эти треугольники равны, значит их стороны AD и BC равны. Аналогично для треугольников AOB и COD т. е. из них стороны AB и CD равны. в итоге: в треугольниках ABC и CDA равны три стороны. Это третий признак равенства двух треугольников. (AC - это общая сторона) Всё! )
Це за формулою для радіуса кола вписаного в прямокутний трикутник:
Радіуси менших кіл (див. рис.):
За умовою задачі площа великого кола вдвічі більша за площу маленького кола, тобто відношення їх радіусів дорівнює
Знайдемо відношення радіусів відповідних кіл для нашого рівнобедренного прямокутного трикутника, тобто:
Тобто має таку саму величину, як і по умові задачі.
Покажемо, що для іншого виду прямокутних трикутників, крім рівнобедринних, такого відношення між радіусами кіл, що вказані в умові, бути не може. Радіус кола вписаного в прямокутний трикутник обчислюєтсья за формулою:
Цей добуток а*в, як відомо, буде найбільший, коли а=в, тобто катети прямокутного трикутника рівні між собою. Всі інші вписані кола в любі інші прямокутні трикутники, за площею будуть менші від кола вписаного в рівнобедринний прямокутний трикутник, тобто умова задачі в цьому випадку виконуватись не буде. Значить гострі кути цього прямокутного трикутника рівні і дорівнюють 45.
Відповідь: