Question

1. Выписать точки, которые лежат: а) на оси Оy;
б) в плоскости Оху.
А (-2; 3; 0), В (0; 0; -4), С (0; -5; 0); D (-7; 3; 1); E (1; 0; 0); F (1; 1; -1); G (0; 5; 1); K (0; 0; 0).

2. Задать два неколлинеарных вектора и . Построить сумму векторов: .
3. Даны точки А (-4; 1; 2) и В (5; 6; -9).
а) найти длину вектора ;
в) найти середину отрезка АВ.
4. Даны векторы и : ; . Найти: а) их скалярное произведение; б) косинус угла между ними.
5. Найти координаты вектора , если {-5; 2; -1}, {8; -3; 0}, {-1; -2; 2}.

Answer 1

1. Выписать точки, которые лежат:

а) на оси Оy:
Точки, которые лежат на оси Оy, имеют координаты x = 0 и z = 0. Таким образом, точки А, В, D, E и K (A (0; 3; 0), В (0; 0; -4), D (0; 3; 1), E (0; 0; 0), K (0; 0; 0)) лежат на оси Оy.

б) в плоскости Оху:
Точки, которые лежат в плоскости Оху, имеют координату y = 0. Таким образом, точки C, E, F, G и K (C (0; -5; 0), E (1; 0; 0), F (1; 1; -1), G (0; 5; 1), K (0; 0; 0)) лежат в плоскости Оху.

2. Задать два неколлинеарных вектора a и b. Построить сумму векторов a + b.

Чтобы построить сумму векторов a + b, нужно сложить соответствующие координаты векторов a и b.

Пусть вектор a = (-2; 4; 1) и вектор b = (3; -1; 2).

Тогда сумма векторов a + b = (-2 + 3; 4 + (-1); 1 + 2) = (1; 3; 3).

3. Даны точки A (-4; 1; 2) и B (5; 6; -9).

а) Найти длину вектора AB.

Длина вектора AB можно найти по формуле длины вектора:
|AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек A и B соответственно.

Заменяем значения:
|AB| = √((5 - (-4))^2 + (6 - 1)^2 + (-9 - 2)^2)
= √(9^2 + 5^2 + (-11)^2)
= √(81 + 25 + 121)
= √(227)
≈ 15.03 (округляем до двух знаков после запятой)

Таким образом, длина вектора AB составляет около 15.03 единиц.

б) Найти середину отрезка АВ.

Для нахождения середины отрезка АВ нужно найти среднее арифметическое всех соответствующих координат точек A и B.

Середина отрезка АВ имеет координаты (xср, yср, zср), где
xср = (x1 + x2) / 2
yср = (y1 + y2) / 2
zср = (z1 + z2) / 2

Заменяем значения:
xср = (-4 + 5) / 2 = 1 / 2 = 0.5
yср = (1 + 6) / 2 = 7 / 2 = 3.5
zср = (2 + (-9)) / 2 = (-7) / 2 = -3.5

Таким образом, середина отрезка АВ имеет координаты (0.5, 3.5, -3.5).

4. Даны векторы а = (4, -2, -1) и b = (-2, 5, 3). Найти:

а) их скалярное произведение.

Скалярное произведение векторов a и b вычисляется по формуле:
a ∙ b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3

Заменяем значения:
a ∙ b = 4 * (-2) + (-2) * 5 + (-1) * 3
= -8 + (-10) + (-3)
= -8 - 10 - 3
= -21

Таким образом, скалярное произведение векторов a и b равно -21.

б) косинус угла между ними.

Косинус угла между векторами a и b можно найти по формуле косинуса угла между векторами:
cosθ = (a ∙ b) / (|a| * |b|)

где a ∙ b - скалярное произведение векторов a и b,
|a| и |b| - длины векторов a и b соответственно.

Находим длины векторов:
|a| = √(4^2 + (-2)^2 + (-1)^2) = √(16 + 4 + 1) = √21
|b| = √((-2)^2 + 5^2 + 3^2) = √(4 + 25 + 9) = √38

Подставляем значения в формулу:
cosθ = (-21) / (√21 * √38)

Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен -21 / (√21 * √38).

5. Найти координаты вектора c, если его направляющие векторы a = (-5, 8, -1), b = (2, -3, -2), c = (-1, 0, 2).

Чтобы найти координаты вектора c, нужно сложить соответствующие координаты векторов a и b:
c = a + b

Заменяем значения:
c = (-5 + 2, 8 + (-3), -1 + (-2))
= (-3, 5, -3)

Таким образом, координаты вектора c равны (-3, 5, -3).