Проведём осевое сечение заданной пирамиды перпендикулярно ребру основания. В сечении имеем равнобедренный треугольник ESK. Боковые стороны - это высоты h, основание ЕК равно высоте ромба в основании, высота равна высоте Н пирамиды. Сторона а основания равна: a = EK/sin α = 2h*cos β/sin α. Высота SO = Н пирамиды равна: Н = h*sin β. Площадь основания равна: So = a*EK = ( 2h*cos β/sin α)*( 2h*cos β) = 4h²*cos² β/sin α. Теперь находим искомый объём V пирамиды: V = (1/3)So*H = (1/3)*(4h²*cos² β/sin α)*(h*sin β) = (4/3)h³*cos² β*sin β/sin α.
Решение: Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости. В теореме утверждается, что если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то прямая будет параллельна и самой плоскости. Прямая AB по условию не лежит в плоскости PCD. В плоскости PCD лежит прямая СD, параллельная прямой AB. Действительно, по условию ABCD - параллелограмм, а по определению его противолежащие стороны AB и CD параллельны. Получили, что AB ║CD, CD⊂ (PCD) , тогда по признаку AB ║ (PCD), что и требовалось доказать.
В равнобедренной трапеции диагонали равны и точкой пересечения делятся попарно на равные отрезки. То есть ВО=СО; МО=АО.
Тогда ∆ВОС и ∆АОМ – равнобедренные с основаниями ВС и АМ соответственно.
Следовательно угол ВСО=угол СВО=45° и угол МАО=угол АМО=45°.
Сумма углов в любом треугольнике равна 180°
Тогда угол ВОС=180°–угол ВСО–угол СВО=180°–45°–45°=90°;
Угол АОМ=180°–угол МАО–угол АМО=180°–45°–45°=90°.
Следовательно треугольники ВОС и АОМ – прямоугольные с прямыми углами ВОС и АОМ соответственно.
В прямоугольном треугольнике ВОС по теореме Пифагора:
ВС²=ВО²+СО²
Пусть ВО=СО=х
3²=х²+х²
2х²=9
х²=4,5
х=√4,5
Тоесть СО=√4,5 см
В прямоугольном ∆АОМ по теореме Пифагора:
АМ²=АО²+МО²
Пусть АО=МО=у
6²=у²+у²
2у²=36
у=√18
Тоесть МО=√18 см
Угол СОМ=180°–угол АОМ=180°–90° (так как углы смежные)
Тогда ∆СОМ – прямоугольный с прямым углом СОМ.
Тогда в прямоугольном треугольнике СОМ по теореме Пифагора:
СМ²=СО²+МО²
СМ²=4,5+18
СМ=√22,5
Проведём высоты СР и ВН к стороне АМ.
Высоты трапеции, проведенные из концов одного основания, к другому, паралельны и равны.
Углы образованные высотой и стороной, к которой проведена высота, прямые;
Тогда ВСРН – прямоугольник, следовательно НР=ВС=3.
Получим два прямоугольных треугольника СРМ и ВНА.
СР=ВН так как высоты трапеции равны, АВ=СМ как боковые стороны равнобедренной трапеции
Значит треугольники СРМ и ВНА равны как прямоугольные по гипотенузе и катету.
Следовательно РМ=АН как соответственные катеты.
Тогда РМ+АН=2РМ.
АМ=АН+НР+РМ
АМ=НР+2РМ
6=3+2РМ
РМ=1,5
В прямоугольном треугольнике СРМ по теореме Пифагора:
СМ²=СР²+РМ²
СР²=СМ²–РМ²
СР²=22,5–2,25
СР²=20,25
СР=4,5
ответ: 4,5 см