Question

На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и К, так что АМ: МВ- 2:3, ВК: КС =4:5. Через середину отрезка МК и вершину В провели прямую. В каком отношении она делит сторону АС?

Answer 1

См. рисунок

построено 2 прямые//КМ

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойство параллельности прямых к сторонам треугольника.

По условию, имеем: АМ:МВ = 2:3 и ВК:КС = 4:5.

Первым шагом найдем точку пересечения прямой, проведенной через середину отрезка МК и вершину В, с стороной АС. Обозначим эту точку как P.

Так как P - середина отрезка МК, то АР:РC = 1:1.

Также, так как прямая, проходящая через середину отрезка МК и вершину В, параллельна сторонам треугольника, то АМ:МВ = АР:РС.

Теперь, выражаем отношение АР:РC через известные отношения:

АР:РC = АМ:МВ = 2:3.

Далее, рассмотрим треугольник АВС и зная, что АР:РC = 2:3, можем применить теорему Менелая, чтобы найти отношение АС:SP.

Теорема Менелая гласит:
В треугольнике АВС, если прямые, проведенные через точки пересечения сторон с установленными точками деления, пересекаются в одной точке, то отношение длин отрезков, на которые делится каждая сторона, равно единице.

Применяя теорему Менелая и подставляя отношения длин известных отрезков, получаем:

(АС/SP) * (PВ/BV) * (SK/KС) = 1.

Теперь, подставляем известные отношения вместо соответствующих переменных:

(АС/SP) * (1/3) * (5/4) = 1.

Упрощаем уравнение, умножая числитель и знаменатель на SP и на 4:

(АС * 4) * (1 * 5) = SP * (3 * 4).

Упрощаем еще раз:

4АС * 5 = 12SP.

20АС = 12SP.

Деля обе части уравнения на 12, получаем:

(20АС)/12 = SP.

Таким образом, прямая, проведенная через середину отрезка МК и вершину В, делит сторону АС так, что отношение АС к SP равно 20/12, что можно упростить до 5/3.

Ответ: прямая делит сторону АС в отношении 5:3.