Найдите площади боковой и полной поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной основания 4 см и боковым ребром 6 см.
Объяснение:
АВСМ-правильная треугольная пирамида, АВС-основание, МА=6см, АС=4 см.
1)S(полн.пр.пир.)=S(осн)+S(бок) ;
S(бок)=1/2*Р(осн)*а, а-апофема,
S(осн)=S(прав. треуг)=(а²√3)/4.
2) S(осн)=(4²√3)/4= 4√3 (см²) ;
3)Пусть ВК⊥АС, тогда ВК-медиана ,т.к треугольник правильный ⇒
АК=2 см.
Т.к. ВК⊥АС, то МК⊥АС по т. о трех перпендикулярах (МО-высота прирамиды). Тогда ΔАМК-прямоугольный, по т. Пифагора
МК=√(АМ²-АК²) , МК=√(36-4)=√32=4√2 (см).
4) Р( осн.)=4*3=12(см) ,
S(бок)=1/2*12*4√2=24√2 (см²)
5)S(полн.пр.пир.)=4√3+24√2 (см²)
Правильная четырёхугольная пирамида MABCD
AB=BC=CD=AD = 4 см , О - точка пересечения диагоналей
OK⊥CM; OK = 2 см
ABCD - квадрат ⇒ AC = BD = AB*√2 = 4√2 см
ΔOKC : ∠OKC=90°; OC = AC/2 = 2√2 см; OK = 2 см
KC² = OC² - OK² = (2√2)² - 2² = 8-4 = 4 ⇒ KC = 2 см ⇒
ΔOKC - прямоугольный равнобедренный
ΔMOC ~ ΔOKC по двум углам: прямому и общему острому ∠OCM ⇒
ΔMOC - прямоугольный равнобедренный ⇒
OM = OC = 2√2 см: MK = KC = 2 см ⇒ MC = 2*2 = 4 см
Так как пирамида правильная, то MD = MC = 4 см ⇒
ΔCMD - равносторонний : MD = MC = 4 см = CD ⇒
Угол при вершине пирамиды равен 180°/3 = 60°
В равностороннем треугольнике медиана DK - она же высота ⇒
DK⊥MC. Аналогично BK⊥MC ⇒
Угол между смежными боковыми гранями равен углу BKD
DK = DC*sin 60° = 4 * √3/2 = 2√3 см
ΔBKD : BD = 4√2 см; DK = BK = 2√3 см
Теорема косинусов
BD² = BK² + DK² - 2BK*DK*cos ∠BKD
(4√2)² = (2√3)² + (2√3)² - 2 * 2√3 * 2√3 * cos∠BKD
32 = 24 - 24*cos∠BKD
24cos∠BKD = -8
cos∠BKD = -1/3
∠BKD = arccos (-1/3) ≈ 109,5°
ΔFMO: ∠FOM=90°; OM = 2√2 см; MF = 2√3 см
sin∠MFO = OM / MF = 2√2 / (2√3)= \sqrt{ \frac{2}{3} }32
∠MFO = arcsin (\sqrt{ \frac{2}{3} }32 ) ≈ 54,7°
MF⊥AD и OF⊥AD ⇒
∠MFO - угол между боковой гранью и гранью основания
ответ: угол при вершине 60°;
угол между смежными боковыми гранями arccos (-1/3) ≈ 109,5°;
угол между боковой гранью и гранью основания равен
arcsin (\sqrt{ \frac{2}{3} }32 ) ≈ 54,7°