1) Чтобы доказать, что CE : CA = 5 : 9, нам понадобится использовать соотношение между отношениями сторон треугольников, подобных друг другу.
Так как прямая FE параллельна AB, то углы BFE и BCA равны, также углы FEB и ACB равны (так как они являются соответственными углами при параллельных прямых).
Поскольку треугольники BFE и BCA подобны (они имеют равные углы), соотношение между их сторонами должно быть одинаковым.
Так как CF : BF = 5 : 4, а сторона BF является частью стороны AB (так как B, F и E лежат на стороне BC), то CF : AB = 5 : 4.
Аналогично, так как CE является частью стороны AC, CF : AC = 5 : 4.
Объединяя эти два соотношения, получаем: CF : AB : AC = 5 : 4 : 5.
Сокращая на общий множитель, получаем: CF : AB : AC = 1 : 4/5 : 1.
Так как AB = AC, то CF : AB = 1 : 4/5.
Аналогично: CE : CA = 1 : 4/5.
Сокращая на общий множитель, получаем: CE : CA = 5/5 : 4/5 = 5 : 9.
Таким образом, мы доказали, что CE : CA = 5 : 9.
2) Чтобы найти длину отрезка FE, мы можем использовать теорему Талеса.
Теорема Талеса гласит: если в треугольнике параллельна одна из сторон, то отрезок, соединяющий точки пересечения продолжений противоположных сторон с этой прямой, делит две противоположные стороны треугольника пропорционально.
Согласно теореме Талеса, мы можем записать следующее соотношение для треугольника ABC и линии FE: CF : AB = CE : AC = FE : BC.
По условию, CF : AB = 5 : 4 (это дано).
Также, мы доказали в пункте 1, что CE : CA = 5 : 9.
Подставляя значения и обозначая длину отрезка FE как х, мы получаем следующее уравнение: 5/4 = 5/9 = x/BC.
Мы также знаем, что AB = 18 см.
Используя пропорции, мы можем найти значение отрезка FE: 5/4 = 5/9 = x/18.
Мы можем решить это уравнение, перекрестно умножая: 4 * 5 = 5 * x/9, 20 = 5x/9.
Затем, умножая обе стороны на 9, получаем: 9 * 20 = 5x, 180 = 5x.
И, наконец, деля обе стороны на 5, получаем: 180/5 = x, 36 = x.
Таким образом, длина отрезка FE равна 36 см.
В итоге, мы доказали, что CE : CA = 5 : 9 и найдена длина отрезка FE, которая равна 36 см.
Так как прямая FE параллельна AB, то углы BFE и BCA равны, также углы FEB и ACB равны (так как они являются соответственными углами при параллельных прямых).
Поскольку треугольники BFE и BCA подобны (они имеют равные углы), соотношение между их сторонами должно быть одинаковым.
Так как CF : BF = 5 : 4, а сторона BF является частью стороны AB (так как B, F и E лежат на стороне BC), то CF : AB = 5 : 4.
Аналогично, так как CE является частью стороны AC, CF : AC = 5 : 4.
Объединяя эти два соотношения, получаем: CF : AB : AC = 5 : 4 : 5.
Сокращая на общий множитель, получаем: CF : AB : AC = 1 : 4/5 : 1.
Так как AB = AC, то CF : AB = 1 : 4/5.
Аналогично: CE : CA = 1 : 4/5.
Сокращая на общий множитель, получаем: CE : CA = 5/5 : 4/5 = 5 : 9.
Таким образом, мы доказали, что CE : CA = 5 : 9.
2) Чтобы найти длину отрезка FE, мы можем использовать теорему Талеса.
Теорема Талеса гласит: если в треугольнике параллельна одна из сторон, то отрезок, соединяющий точки пересечения продолжений противоположных сторон с этой прямой, делит две противоположные стороны треугольника пропорционально.
Согласно теореме Талеса, мы можем записать следующее соотношение для треугольника ABC и линии FE: CF : AB = CE : AC = FE : BC.
По условию, CF : AB = 5 : 4 (это дано).
Также, мы доказали в пункте 1, что CE : CA = 5 : 9.
Подставляя значения и обозначая длину отрезка FE как х, мы получаем следующее уравнение: 5/4 = 5/9 = x/BC.
Мы также знаем, что AB = 18 см.
Используя пропорции, мы можем найти значение отрезка FE: 5/4 = 5/9 = x/18.
Мы можем решить это уравнение, перекрестно умножая: 4 * 5 = 5 * x/9, 20 = 5x/9.
Затем, умножая обе стороны на 9, получаем: 9 * 20 = 5x, 180 = 5x.
И, наконец, деля обе стороны на 5, получаем: 180/5 = x, 36 = x.
Таким образом, длина отрезка FE равна 36 см.
В итоге, мы доказали, что CE : CA = 5 : 9 и найдена длина отрезка FE, которая равна 36 см.