Чему равна градусная мера угла ВАС, если АD – биссектриса треугольника АВС, а угол ВАD равен 35°? Изображение: Выберите один из 4 вариантов ответа: 1) 35° 2) 90° 3) 70° 4) 45°
Решение: 1) Треугольник ABC подобен ADC за двумя углами,(угол ACB=угол ADC =90 градусов,угол BAC=угол DAC).По теореме Пифагора AD=корень(AC^2-CD^2)= корень(3^2-2.4^2)=1.8Квадрат высоты равен произведению проекций катетов на гипотенузу:CD^2=AD*BD, отсюда BD=CD^2\AD, BD=2.4^2\1.8=3.2Гипотенуза AB=AD+BD=1.8+3.2=5 смПо теореме Пифагора катет BC=корень(AB^2-AC^2)==корень(5^2-3^2)=4 смПлощадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:S=1\2*AC*BC=1\2*3*4=6 см^2.2) Дополнив треугольник до параллелограмма,проведя стороны BF|| CA, AF|| CBВектор CD=1\2*вектор CF=1\2*(вектор CA+ вектор CB)3)Радиус вписанного круга в прямоугольный треугольник равен половине от разницы( сумма катетов – гипотенуза)r=1\2*(AC+BC-AB)r=1\2*(3+4-5)=1Площадь круга равна Sкр=pi*r^2Sкр=pi*r^2=3.14*1^2=3.14
Тетраэдр - правильная пирамида, все грани которой равны, в том числе и основание. Объем пирамиды равен: (S*H)/3, то есть площади основания, а в нашем случае - одной грани, умноженной на высоту, опущенную к ней с вершины. Рассмотрим треугольник АВС: АК = КС = АС/2 = 5/2. В правильном треугольнике все медианы являются биссектрисами и высотами, и между собой они равны. Найдем медиану ВК: из теоремы Пифагора: BK^2 = BC^2 - KC^2, BK^2 = 25 - 25/4 = (100 - 25)/4 = 75/4, BK = пять корней из трех поделить на два. Нужно найти катет прямоугольного треугольника ОС; для этого вспомним, что медианы пересекаются в одной точке, которая делит их в соотношении 2:1, начиная от вершины. ВО = 2ОК. ВК = ВО + ОК, ВК = ОК + 2ОК, 3ОК = пять корней из трех поделить на два. ОК = пять корней из трех поделить на шесть. ВО = пять корней из трей поделить на три. BO = CO = AO. Из прямоугольного треугольника КОС: из теоремы Пифагора: KO^2 = KC^2 - OC^2, KO^2 = 25 - (25*3)/9, KO^2 = 50/3, KO = пять корней из шести поделить на три. Найдем площадь основания: S = (BK* AC)/2 = 25 корней из 3 поделить на 4. Объем пирамиды равен: 125 корней из двух разделить на 12.
