Question

Решите . ! заранее огромное основание пирамиды- правильный треугольник с площадью 9корней из трёх.две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а третья -наклонена к ней под углом 30градусов. а)найдите длины боковых ребер пирамиды. б)найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

а) Найдем для начала сторону у правильного треугольника в основании. По формуле площади правильного треугольника

$S_{\Delta}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$

$9\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$

Сокращаем обе части на корень из 3

$9=\frac{a^2}{4}$

$a^2=36$

По смыслу задачи сторона треугольника равна 6.

Теперь самое сложное. Придется построить высоту у треугольника в основании. Она равна по формуле площади треугольника

$S_\Delta=\frac{a*h}{2}$

$9\sqrt{3}=\frac{6*h}{2}$

Теперь сократим на 3 обе части

$3\sqrt{3}=\frac{2*h}{2}$

$h=3\sqrt{3}$

По теореме о 3-х перпендикулярах получили прямоугольный треугольник следующего вида: первым катетом является высота треугольника в основании пирамиды. Второй катет - это его боковое ребро, перпендикулярное плоскости основания. Гипотенузой является апофема боковой грани, которая наклонена в 30 градусов к плоскости основания. Угол между гипотенузой и высотой треугольника в основании равен 30 градусам. Найдем катет, который является боковой гранью пирамиды. Он выражается через тангенс.

$3\sqrt{3}*\tan30^0=3\sqrt{3}*\frac{1}{\sqrt{3}}=3$

Теперь по теореме Пифагора найдем длины других боковых ребер пирамиды. Они равны, так как треугольники - боковые грани пирамиды равны по двум катетам. Одно ребро - общее, стороны правильного треугольника в основании пирамиды тоже равны.

Обозначим боковые ребра через l.

$l=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

Длины боковых ребер равны $3\sqrt{5},$  $3\sqrt{5},$  3.

б) Площадь боковой поверхности равна сумме двух одинаковых прямоугольных треугольников и площади треугольника, образованного сторонами l и стороной треугольника в основании.

Площадь двух  прямоугольных треугольников равна

$S=6*3=18$

Площадь последнего треугольника надо вычислить как половину произведения апофемы на сторону треугольника в основании

Апофема равна из треугольника в теореме о 3-х перпендикулярах. То есть теперь нужно вычислить гипотенузу этого треугольника

$\sqrt{3^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6$

Теперь площадь боковой грани равна

$\frac{6*6}{2}=18$

Площадь всей боковой поверхности равна

$S_{side}=18+18=36$