Обозначим параллелограмм АВСД, ВС-верхнее основание, АД-нижнее. Угол А острый. Центры вписанных в него окружностей О1 и О2. Очевидно, что высота параллелограмма Н=2R=4. Из центра первой окружности О1 проведём радиусы в точки касания О1К к ВС и О1М к АВ. Радиусы перпендикулярны касательным, прямоугольные треугольники ВКО1 и МВО1 равны по катету(R) и гипотеузе(ВО1). Тогда ВК=ВМ=Х. Из точки О1 проведё радиус О1Р к АД. Аналогично, из равенства треугольников АМО1 и АРО1 получим АМ=АР, по условию ВМ/АМ=1/4. Тогда АМ=АР=4Х. Из вершины В опустим перпендикуляр ВN к АД, отрезки ВК и NР заключены между перпендикулярами КР и ВN к параллельным прямым ВС и АД значит NР=ВК=Х. Тогда АN=АР-NР=4Х-Х=3Х. ВN=2R. По теореме Пифагора ВN=корень из(АВквадрат-АNквадрат)=корень из(25Хквадрат-9Хквадрат)=4Х. Но ВN=2R=4, то есть 4=4Х. Тогда Х=1. Из точки О2 опустим перпендикуляр О2G на АД, поскольку АВ равна и паралельна ДС, радиусы окружностей равны и точка касания делит равные стороны в той же пропорции, то выполнив предыдущие построения , находим , что GД=Х=1. Тогда нижнее основание АД=АР+РG+GД=4Х+2R+Х=4*1+2*2+1=9. Отсюда искомая площадь равна Sавсд=АД*Н=9*4=36.
Легко видеть, что треугольник АВМ равнобедренный (в нем высота ВН является биссектрисой угла АВМ), и АН = НМ. Конечно же, НМ = МС/2, поскольку ВМ - медиана АВС. В прямоугольном треугольнике НВС (смотри чертеж) ВМ - биссестриса. Поэтому ВН/ВС = НМ/МС = 1/2;
Это означает, что угол АСВ = Ф = 30 градусов.
Отсюда моментально - угол НВС = 60 градусов,
угол МВС = угол МВН (и = угол АВН, конечно) = 30 градусов.
Поэтому угол АВС - прямой. Угол ВАН = 60 градусов.
конечно же, (см. обозначения на чертеже, немного нестандартно: b - гипотенуза АВС, с - малый катет, а - большой) b = 2*с, а = с*корень(3).
Площадь S = c^2*корень(3)/2.
По условию S = 3/2 + корень(3);
Приравнивая, находим с, отсюда, конечно, а и b, и потом r = (a + c - b)/2; (напомню, что b - гипотенуза).
Далее я не стану приводить выкладки - в условии явно ошибка, площадь должна быть 3/2+ корень(3)/2. Тогда с = 1/2, b =1, a = корень(3); r = 3/4 - корень(3)/2;
А так там просто необозримые корни. Вы тогда сами досчитайте :)))