Question

Треугольник АВС и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, MN||EF, EF||BC. а) Докажите, что ВС|| KP.
б) Найдите KP и MN, если ВС=24, КР:MN = 8:3.

Answer 1

a) Для доказательства параллельности BC и KP, мы можем использовать теорему о трех параллельных линиях.

В данной задаче у нас есть следующие параллельные линии:
- MN || EF (дано)
- EF || BC (дано)

Мы знаем, что если две прямые параллельны одной третьей прямой, то они параллельны друг другу.
Таким образом, BC || MN.

Также, мы знаем, что BC и EF имеют общую среднюю линию EF. По определению средней линии, средняя линия EF одновременно является средней линией для обоих треугольника АВС и трапеции KMNP.

Теперь рассмотрим треугольники АВС и KPЕ. Мы знаем, что EF || BC и EF || KP (так как EF является средней линией), а также BC || KP (по доказанному ранее). Таким образом, по теореме о трех параллельных линиях, мы можем заключить, что ВС || KP.

b) Найдем KP и MN, используя данный нам факт: BC = 24 и КР:MN = 8:3.

Для начала, нам нужно найти длину BC. Но у нас уже есть эта информация: ВС = 24. Так как ВС является боковой стороной трапеции и одновременно является основанием треугольника АВС, то это также должна быть боковая сторона треугольника АВС. Значит, BC = ВС = 24.

Исходя из информации о пропорции КР:MN = 8:3, мы можем записать:

(BC - KP):KP = 8:3

Подставим известные значения:

(24 - KP):KP = 8:3

Сокращаем дробь на обеих сторонах:

(8/3)(KP) = 24 - KP

Умножим обе части уравнения на 3:

8(KP) = 72 - 3(KP)

Раскрываем скобки:

8KP = 72 - 3KP

Добавляем 3KP к обеим частям:

8KP + 3KP = 72

11KP = 72

Делим обе части на 11:

KP = 72/11

Таким образом, мы нашли длину KP.

Теперь найдем длину MN, используя пропорцию КР:MN = 8:3:

KP:MN = 8:3

Подставим известное значение KP:

(72/11):MN = 8:3

Умножим обе части уравнения на MN:

(72/11)MN = 8MN/3

Сократим дробь на обеих сторонах:

8MN = (72/11)(3)

Упростим:

8MN = (216/11)

Разделим обе части на 8:

MN = (216/11) / 8

MN = 216/88

Таким образом, мы нашли длину MN.