Отрезок касательной, проведенный из точки м к окружности радиуса 5 см, имеет длину 13 см. найдите расстояние от данной точки до ближайшей к ней точки окружности.
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника , то такие треугольники подобны, и их сходственные стороны пропорциональны. Пусть угол А=углу А1, угол С=углу С1=90 градусов ΔАВС подобен ΔА1В1С1по двум углам, тогда АВ/А1В1=k, AC/A1C1=k, BC/B1C1=k, AB=k*A1B1, AC=k*A1C1, BC=k*B1C1, sinA=BC/AB=k*B1C1/k*A1B1=B1C1/A1B1=sinA1, sinA1=B1C1/A1B1, cosA1=A1C1/A1B1, cosA=AC/AB=k*A1C1/k*A1B1=A1C1/A1B1=cosA1, tgA1=B1C1/A1C1, tgA=BC/AC=k*B1C1/k*A1C1=B1C1/A1B1=tgA1
Воспользуемся свойством, что отрезки касательных KM и KN к окружности, проведенные из одной точки К, равны и составляют равные углы с прямой, которая проходит через эту точку К и центр окружности О. Прямоугольные треугольники KMO и KNO таким образом равны и <MOK=NOK=120/2=60°. Зная сумму углов треугольника, найдем неизвестные углы: <MKO=<NKO=180-<KMO-<MOK=180-90-60=30° Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит ОМ=ON=OK/2=12/2=6 см По теореме Пифагора найдем неизвестные катеты КМ и KN: KM=KN=√OK²-OM²=√12²-6²=√108=√36*3=6√3 см
√13²+5²=√194 -расстояние от центра окружн до т.М
√194-5=13,93-5=8,93 см кратчайшее растояние до окр.