Точки А и В лежат в плоскости а, а точки С и D — в плоскости р, причем а || в, АВ = CD, a отрезки АС и BD пересекаются. а) Докажите, что AD || ВС. б) Один из углов четырехугольника ABCD равен 130°. Найдите остальные углы.
Вариант решения. Около окружности единичного радиуса описана равнобочная трапеция, у которой одно основание вдвое больше другого. Найти среднюю линию трапеции. --------- Четырехугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда равны сумы его противололожных сторон. В трапеции АВСD АВ+СД=ВС+АД. АВ=СД. ВС+АД=2 АВ. Опустим из В высоту ВН. Высота трапеции ВН равна диаметру вписанной окружности и равна 2, так как. радиус окружности равен единице. Пусть ВС=2а. Тогда АД=4а. 2АВ=ВС+АД=6а АВ=3а АН=а. ВН=2 По т. Пифагора ВН²=АВ²-АН² 4=9а²-а² 4=8а² а²=2/4 а=(√2):2 Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: 6а:2=3*(√2):2
Т.к. он по условию равнобедренный, / ВАС=/ АСВ; (1)
2. Т.к .АС пересекает параллельные прямые ВС и АД. то / АСВ =/ САД (2) Из (1) и (2) ⇒/ ВАД = 2/ САД; (3)
3. Т.К. трапеция равнобокая, / АВС = / ВСД;
/ ВАД = / АДС; ( 4)
4. Рассмотрим Δ АСД. / АСД по условию 90°, из (3) и (4) ⇒ / АДС = / ВАД = 2/ САД.(5) Т.к, сумма углов Δ равна 180°, то / САД + / АДС =90°; 3/ САД = 90°; / САД =30°; ⇒ / АДС 60°;
5. / ВСД =/ АСВ + 90° = 120°
Мы могли бы тупой угол также определить из ΔАВС: 180° - 2·30°=120°)
ответ острые углы трапеции равны 60°, тупые 120°