Даны A(1; -1), В(-4; 1) - вершины равнобедренного треугольника, х + у=-3 — биссектриса внутреннего угла между равными сторонами.
Найти уравнение стороны ВС.
Подставим координаты точки В в уравнение биссектрисы.
-4 + 1 = -3. Отсюда видно, что точка В - вершина треугольника при равных боковых сторонах.
Уравнение стороны ВС можно найти двумя путями.
1 - найти точку С как симметричную точке А относительно биссектрисы.
Потом составить уравнение ВС как прямую через 2 точки.
2- найти угол (точнее тангенс угла) между прямой АВ и биссектрисой. Затем определить угловой коэффициент стороны ВС по разности угловых коэффициентов АВ и биссектрисы (свойство симметрии прямых АВ и ВС относительно биссектрисы).
1) Находим к(AD) из уравнения биссектрисы у = -х - 3 .к(BAD) = -1
Уравнение AD: y =( -1/(-1))x + b.Подставим координаты точки A:
-1 =1*1 + b, отсюда b = -1 - 1 = -2. AD: y = x - 2 или х - у - 2 = 0.
Находим координаты точки D, решая систему уравнений BD и AD.
{х + у + 3 = 0
{x - y - 2 = 0
2x + 1 = 0 x = -1/2, y = x - 2 = (-1/2) - 2 = -2,5.
Находим координаты точки С как симметричной точке А относительно точки D.
В тр-ке АВС АС=40 см, ВМ=15 см К, Р и М - точки касания сторон АВ, ВС и АС соответственно. В тр-ке АВМ АМ=АС/2=20 см. по т. Пифагора АВ²=АМ²+ВМ²=20²+15²=625, АВ=25 см. В тр-ке АВМ по теореме косинусов: cosА=(АВ²+АМ²-ВМ²)/(2·АВ·АМ)=(25²+20²-15²)/(2·25·20)=0.8 В тр-ке АКМ по т. косинусов: КМ²=АК²+АМ²-2·АК·АМ·cosA=20²+20²-2·20·20·0.8=160, КМ=РМ=√160=4√10 см - это ответ. В тр-ке АВС: соsВ=(АВ²+ВС²-АС²)/(2·АВ·ВС)=(25²+25²-40²)/(2·25²)=-7/25, В тр-ке ВКР ВК=ВР=АВ-АК=АВ-АМ=25-20=5 см (АМ=АК так как они касательные из одной точки). КР²=ВК²+ВР²-2·ВК·ВР·cosВ=5²+5²-2·5²·(-7/25)=64, КР=8 см - это ответ.
Высота равнобедренного треугольника является и его медианой. Тогда по Пифагору боковая сторона нашего треугольника равна √(15²+20²)=25см. Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d=(a+b-c)/2 = p-c, где р - полупериметр, с - сторона, лежащая против вершины С. Полупериметр нашего треугольника равен 45см. Тогда расстояние от вершины В до точек касания ВК=ВР=45-40=5см. Треугольник КВР подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия 5/25=1/5. Тогда расстояние КР=40*(1/5)=8см. Это ответ. Опустим из точки Р перпендикуляр РQ на сторону АС. Треугольник QРС подобен треугольнику МВС с коэффициентом подобия 20/25=4/5. Тогда РQ=15*4/5=12см, QC=20*4/5=16см, а МQ=20-16=4см. По Пифагору из треугольника QMP расстояние МР=МК=√(РQ²+МQ²)=√(12²+4²)=4√10см. Это ответ.
Даны A(1; -1), В(-4; 1) - вершины равнобедренного треугольника, х + у=-3 — биссектриса внутреннего угла между равными сторонами.
Найти уравнение стороны ВС.
Подставим координаты точки В в уравнение биссектрисы.
-4 + 1 = -3. Отсюда видно, что точка В - вершина треугольника при равных боковых сторонах.
Уравнение стороны ВС можно найти двумя путями.
1 - найти точку С как симметричную точке А относительно биссектрисы.
Потом составить уравнение ВС как прямую через 2 точки.
2- найти угол (точнее тангенс угла) между прямой АВ и биссектрисой. Затем определить угловой коэффициент стороны ВС по разности угловых коэффициентов АВ и биссектрисы (свойство симметрии прямых АВ и ВС относительно биссектрисы).
1) Находим к(AD) из уравнения биссектрисы у = -х - 3 .к(BAD) = -1
Уравнение AD: y =( -1/(-1))x + b.Подставим координаты точки A:
-1 =1*1 + b, отсюда b = -1 - 1 = -2. AD: y = x - 2 или х - у - 2 = 0.
Находим координаты точки D, решая систему уравнений BD и AD.
{х + у + 3 = 0
{x - y - 2 = 0
2x + 1 = 0 x = -1/2, y = x - 2 = (-1/2) - 2 = -2,5.
Находим координаты точки С как симметричной точке А относительно точки D.
x(С) = 2x(D) - x(A) = 2*(-1/2) - 1 = -2.
y(С) = 2y(D) - y(A) = 2*(-2,5) - (-1) = -4.
Теперь находим уравнение ВС. Вектор ВС = (-4-(-2); 1-(-4)) = (-2; 5).
(x + 4)/(-2) = (у - 1)/5.
Или в общем виде 5х + 2у + 18 = 0.