Question

Даны фокусы гиперболы F1(-10,0) F2(10,0) и её асимптота 4x+3y= 0. Написать уравнение гиперболы.

Answer 1

Для того чтобы решить эту задачу, нам понадобится знать некоторые свойства гиперболы.

Гипербола определяется двумя фокусами и асимптотами. Фокусы - это две точки внутри гиперболы, обозначены как F1 и F2. Асимптоты - это две прямые, которые гипербола "приближается" к ним при удалении от центра.

Уравнение гиперболы имеет следующий вид:
((x-h)^2)/a^2 - ((y-k)^2)/b^2 = 1, где (h, k) - это координаты центра гиперболы, а a и b - полуоси.

Шаг 1: Найдем центр гиперболы.
Центр гиперболы можно найти как середину отрезка, соединяющего фокусы F1 и F2.
Координаты центра будут ((F1x + F2x)/2, (F1y + F2y)/2).
В нашем случае:
((F1x + F2x)/2, (F1y + F2y)/2) = ((-10 + 10)/2 , (0 + 0)/2) = (0, 0).
Центр гиперболы - точка (0, 0).

Шаг 2: Найдем расстояние между фокусами.
Расстояние между фокусами равно 2ae, где e - эксцентриситет гиперболы.
В нашем случае фокусы F1 и F2 находятся на одной горизонтальной линии, поэтому эксцентриситет гиперболы равен |(F2x - F1x)/2a|.
В нашем случае:
|(F2x - F1x)/2a| = |(10 - (-10))/2a| = |20/2a| = |10/a|.
Эксцентриситет гиперболы равен |10/a|.

Шаг 3: Найдем полуоси гиперболы.
Так как асимптотой гиперболы является прямая 4x + 3y = 0, то коэффициенты при x и y в уравнении гиперболы равны 4/2 = 2a и 3/2 = 2b.
Полуоси гиперболы равны 1/2a и 1/2b соответственно.
В нашем случае:
2a = 4 -> a = 2,
2b = 3 -> b = 3/2.

Шаг 4: Запишем уравнение гиперболы.
Учитывая все полученные значения, уравнение гиперболы имеет следующий вид:
((x-0)^2)/(2^2) - ((y-0)^2)/((3/2)^2) = 1.
То есть окончательное уравнение гиперболы:
(x^2)/4 - (y^2)/(9/4) = 1.

Таким образом, уравнение данной гиперболы равно (x^2)/4 - (y^2)/(9/4) = 1.