Легко можно показать , что ∠BAC =90°. Соединяем точка D с вершиной C треугольника ABC. ∠CAD =∠90° ⇒CD диаметр окружности описанной около треугольника CAD. DC⊥BC (BC касательная ; радиус ⊥ касательной в точке касания ). В треугольнике BCD BC и CD катеты , BD-гипотенуза , CA высота опущенная на гипотенузе. Известно AC² =AB*AD ⇒AC =√(5*4) =2√5 . Из ΔCAD по теореме Пифагора: CD =√(AC² +AD²) =√(20 +25) =3√5. CD =2R₂⇒ R₂ =CD/2 = 3√5 / 2. Аналогично продолжая CD до точки E пересечения с первой окружности можно определить радиус первой окружности _R₁. --- Или BC =2√R₁*R₂.⇔BC² =4*R₁*R₂.⇔BA²+AC² =4*R₁*R₂⇔ 4²+20 =4R₁*3√5 / 2⇒R₁ =6/√5 = 6√5 / 5 .
Удивительно, но эта такая сложная по формулировке задача решается в одно действие. Угол между высотами, выходящими (например, тут полный произвол в обозначениях) из вершин углов A и B; равен 180 - С; Это можно просто сосчитать, как 180 - (90 - A) - (90 - B) = A + B = 180 - C; а можно просто заметить, что четырехугольник, образованный сторонами угла С и высотами (ну кусочками), выходящими из углов A и B, очевидно является вписанным (да даже еще проще - в нем два угла прямых). а можно просто заметить, что у угла С и угла между высотами СТОРОНЫ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ. :) Поэтому в обоих треугольниках напротив общей их стороны AB лежат углы, синусы которых равны. Поэтому (по теореме синусов) равны радиусы окружностей, описанных вокруг этих треугольников.
ответ: AB=3√3, BC=6√3 см.
Объяснение:
Пусть АВ=х. Тогда ВС=2х (против угла в 30 градусов).
ВС²-АВ²=АС²;
4х²-х²=81;
3х²=81;
х²=27;
х=3√3 см - катет AB;
Гипотенуза ВС=2х=2*3√3=6√3см.