1)Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности. Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника. От этой точки нужно провести перпендикуляр к любой стороне и это расстояние будет радиусом вписанной в треугольник окружности. 2) Окружность называется описанной вокруг треугольника, когда все его вершины лежат на окружности. Центром описанной окружности является точка пересечения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Радиусом такой окружности будет расстояние от этого центра до вершин треугольника. 3) Вневписанная окружность — окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других его сторон.Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах. Радиусом ее будет отрезок перпендикуляра, проведенного из центра окружности к стороне треугольника или к ее продолжению.Вневписанных окружностей у треугольника может быть 3 - к каждой стороне.
Боковая сторона b, основание треугольника и отрезок от вершины, противоположной основанию, до конца биссектрисы a. Биссектриса угла при основании L. Отрезок, параллельный основанию и проходящий через конец биссектрисы x. Этот отрезок отсекает от исходного подобный ему треугольник со сторонами (x, a, a). То есть a/x = b/a; С другой стороны, по свойству биссектрисы b/a = a/(b - a); откуда x = b - a; Поэтому отсеченный треугольник (на секунду забудем, что он равнобедренный) имеет две стороны a и b - a и угол между ними, равный углу при основании исходного треугольника. Поэтому этот треугольник равен треугольнику, образованному биссектрисой L, основанием a, и отрезком боковой стороны b - a. А теперь вспоминаем забытое :). Получается, что этот треугольник тоже равнобедренный, то есть L = a; чтд.
Радиусом ее будет отрезок перпендикуляра, проведенного из центра окружности к стороне треугольника или к ее продолжению.Вневписанных окружностей у треугольника может быть 3 - к каждой стороне.