Question

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 4, AD = 3, AA1 = 3. Найдите косинус угла между плоскостями BCD1 и ADC1.​

Answer 1

Добрый день!

Чтобы найти косинус угла между плоскостями BCD1 и ADC1, мы можем использовать следующий подход.

1. Определяем угол между нормалями плоскостей:

- Найдем нормаль к плоскости BCD1:

а) Найдем векторы BC и BD1:

BC = C - B = (C1 - C0, B1 - B0, D1 - D0) = (0 - 0, 0 - 4, 3 - 0) = (0, -4, 3)
BD1 = D1 - B = (D1 - D0) - (B1 - B0) = (1 - 0, 0 - 4, 3 - 0) = (1, -4, 3)

б) Найдем векторное произведение векторов BC и BD1:

N1 = BC x BD1 = (0, -4, 3) x (1, -4, 3) = (12, 3, 4)

- Найдем нормаль к плоскости ADC1:

а) Найдем векторы AD и AC1:

AD = D - A = (D1 - D0, A1 - A0) = (1 - 0, 0 - 3) = (1, -3)
AC1 = C1 - A = (C1 - C0, A1 - A0) = (0 - 0, 0 - 3) = (0, -3)

б) Найдем векторное произведение векторов AD и AC1:

N2 = AD x AC1 = (1, -3) x (0, -3) = (9, 0, 0)

2. Находим скалярное произведение нормалей плоскостей:

N1 * N2 = (12, 3, 4) * (9, 0, 0) = 12*9 + 3*0 + 4*0 = 108 + 0 + 0 = 108

3. Находим модули нормалей плоскостей:

|N1| = √(12^2 + 3^2 + 4^2) = √(144 + 9 + 16) = √169 = 13
|N2| = √(9^2 + 0^2 + 0^2) = √(81 + 0 + 0) = √81 = 9

4. Находим косинус угла между нормалями плоскостей:

cos(θ) = (N1 * N2) / (|N1| * |N2|) = 108 / (13 * 9) ≈ 0.6923

Таким образом, косинус угла между плоскостями BCD1 и ADC1 равен примерно 0.6923.