1. AC = CE, BC = CД, ∠BCA=∠ECД (как вертикальные) ⇒ ΔABC = ΔДСЕ по двум сторонам и углу.
2. Треугольник равнобедренный, даны две стороны. Рассмотрим два варианта:
а) основание = 11 см, стороны = 8 см ⇒ P = 27
б) основание = 8 см, стороны = 11 см ⇒ P = 30
3. ∠B = ∠C, BO = CO, ∠COD = ∠BOA (как вертикальные) ⇒ ΔABO = ΔCDO по стороне и двум углам ⇒AO = OD ⇒ΔAOD равнобедренный по определению.
4. AE = DC ⇒ AD = EC (т. к AE - DE = CD - DE).
∠KAC = ∠KCA, т. к. AK = KC (равнобедренный треугольник).
Имеем: AD = EC, ∠KAC = ∠KCA, ∠BDA = ∠FEC ⇒ ΔABD = ΔFEC по стороне и двум углам ⇒ AB = FC.
Так как AK = KC, BK = AK - AB, KF = KC - FC, то BK = KF.
5. Рассмотрим ΔPSK: ∠PSK = ∠SEK = 90°, ∠SPK = 65° ⇒ ∠SKP = 90° - 65° = 25° ⇒ ∠SKE = 50° - 25° = 25°
∠PEK = 90° - ∠SKE = 90° - 25° = 65°
6. Пусть KD — серединный перпендикуляр в ΔABD. Тогда так как AK = KB и KD ⊥ AB, то ΔABD равнобедренный (в равнобедренном Δ высота является медианой и биссектрисой) ⇒ AD = BD.
Известно, что P(ΔBDC) = 64. P(BDC) = BC + BD + DC. AD = BD ⇒ P(BDC) = BC + AD + DC, и так как AC = AD + DC, то P(BDC) = BC + AC = 64 ⇒
AC = 64 - 27 = 37
Перпендикуляр из заданной точки (2;-3;1) на плоскость -x+3y-3z-5 = 0 это прямая с направляющим вектором, равным нормальному вектору плоскости ( это (-1; 3; -3)).
По заданной точке и такому вектору получаем уравнение прямой, перпендикулярной заданной плоскости:
(x - 2)/(-1) = (y + 3)/3 = (z - 1)/(-3).
Теперь можно найти ортогональную проекцию точки (2;-3;1) на плоскость -x+3y-3z-5 = 0 как точку пересечения прямой с этой плоскостью.
Уравнение прямой выразим в параметрическом виде.
(x - 2)/(-1) = (y + 3)/3 = (z - 1)/(-3) = t.
x = -t + 2,
y = 3t - 3,
z = -3t + 1 и подставим в уравнение плоскости -x+3y-3z-5 = 0.
t - 2+ 9t - 9 +9t - 3 - 5 = 0,
19t - 19 = 0, отсюда t = 19/19 = 1.
Подставим t в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты проекции точки на плоскость.
x = -t + 2 = -1 + 2 = 1,
y = 3t - 3 = 3*1 - 3 = 0,
z = -3t + 1 =-3*1 + 1 = -2.
ответ: точка (1; 0; -2).