Пусть OO₁ = x (см. чертеж)
Из ΔOO₁B, используя теорему Пифагора, получаем:
O₁B² = 1 - x² (O₁B - радиус основания конуса)
SO₁ = 1 + x - высота конуса
Объем конуса вычисляется по формуле:
V = ⅓·πr²h, где r - радиус основания конуса, h - его высота
В нашем случае:
V(x) = ⅓·π·(1 - x²)(1 + x)
Исследуем на экстремум функцию f(x) = (1 - x²)(1 + x) = -x³ - x² + x + 1
f'(x) = -3x² - 2x + 1 = 0; Нули производной: -1; ⅓, причем x = ⅓ - максимум!
Таким образом для x>0 f(x) принимает наибольшее значение при x = ⅓, а значит и V(x) принимает наибольшее значение в этой же точке:
V(⅓) = ⅓·π·(1 - ⅑)(1 + ⅓) = 32/81 · π
думаю что так должно быть