Question

Основание прямой призмы — ромб с острым углом 30°, высота призмы равна 20 см. Цилиндр с боковой поверхностью 120π см² вписан в призму.
Определи площадь боковой поверхности призмы.

Answer 1

Для решения этой задачи, нам понадобятся несколько шагов.

Шаг 1: Найдем длину стороны ромба основания призмы.
Для этого, зная, что один из углов ромба равен 30°, можем использовать тригонометрические соотношения. Так как у нас ромб, то все стороны равны между собой. Обозначим длину стороны ромба за "a".

Так как у нас угол в ромбе равен 30° и зная, что синус 30° = противолежащий катет / гипотенуза, можем записать уравнение:
sin 30° = a/ a, где "a" - это длина стороны ромба основания.

Сокращая a/a, получим:
1/2 = 1

Отсюда, длина каждой стороны ромба основания равна 2 см.

Шаг 2: Найдем площадь боковой поверхности цилиндра.
Формула для площади боковой поверхности цилиндра: S = 2πrh, где "r" - радиус цилиндра, "h" - высота цилиндра.

Мы знаем, что площадь боковой поверхности цилиндра равна 120π см², значит можем записать уравнение:
2πrh = 120π

Cокращаем π:
2rh = 120

Зная, что высота цилиндра 20 см, можем записать уравнение:
2r * 20 = 120, где "r" - радиус цилиндра.

Разделяем обе части уравнения на 2*20:
r = 120 / 40
r = 3 см

Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности призмы.
Она равна сумме площадей боковой поверхности ромба основания (4*a*h) и площади боковой поверхности цилиндра (2πrh), где "a" - длина стороны ромба основания, "h" - высота призмы.

Подставляем значения "a" и "h" в формулу:
S = 4*a*h + 2πrh
S = 4*2*20 + 2π*3*20
S = 160 + 120π
S = 160 + 120*3.14
S = 160 + 376.8
S = 536.8 см²

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна 536.8 см².