Пусть ВМ=Х, тогда АС=2Х(смотри рисунок). Воспользуемся теоремой косинусов и найдём АВ и ВС. Затем суммируем квадраты этих сторон, получается, что их сумма равна квадрату третьей стороны АС. По теореме обратной теореме Пифагора, получается, что этот треугольник прямоугольный и угол В=90 градусов. Причём при заданных условиях таких треугольников множество(на рисунке представлен один из них АВ1С), они получаются при движении точки В по окружности у которой радиус равен ВМ. Здесь наглядно видно почему угол В=90-он опирается на диаметр АС.
Если М - середина ВС, получается, что СМ=МВ. Так как треугольник АВС равносторонний, то АМ явлеятся в треугольнике высотой, медианой и биссектрисой.
Рассмотрим треугольник АВМ:
1. АВ = 3 корня из 3
2. ВМ = 3 корня из 3 / 2 (так как М - середина ВС)
3. АВС - прямоугольный, так как АМ - высота в равностороннем треугольнике
По теореме Пифагора :
АВ в квадрате = ВМ в квадрате + АМ в квадрате
(3 корня из 3)^2 = (3 корня из 3/2)^2 + АМ ^2
Отсюда АМ^2 = 27 - 27/4
4АМ^2 = 108 - 27
4АМ^2 = 81
АМ^2 = 81/4
АМ = 9/2 = 4.5
A(6;5), B(4;7), C(8;5).
Найдем координаты векторов:
АВ(4-6; 7-5) = (-2;2). и АС(8-6;5-5) = (2;0).
cosА= АВ×АС/|АВ|×|АС|
Найдем скалярное произведение векторов АВ и АС: АВ×АС= -2×2+2×0=-4.
|АВ| = √(-2)+2² = √4+4 = 2√2.
|AC| = √2²+0² = √4 = 2.
cos A = -4 / 2√2×2 = -4 / 4√2 = -1/√2 = -√2/2.
Следовательно угол А=135°.
Внешний угол при вершине А будет равен 180°-135° = 45°.