Укажите, какие из приведённых утверждений являются истинными. Выберите все возможные варианты ответов. Укажите один или несколько правильных вариантов ответа:
В подобных треугольниках отношение биссектрис, проведённых к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разбивает этот треугольник на два подобных треугольника.
Если прямая пересекает две стороны неравнобедренного треугольника и не параллельна третьей его стороне, то она может отсекать от него треугольник, подобный данному.
Прямая, пересекающая две стороны равностороннего треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.
Любые два равносторонних треугольника подобны.
Утверждение 1: В подобных треугольниках отношение биссектрис, проведённых к сходственным сторонам, равно коэффициенту подобия.
Для проверки данного утверждения представим себе два подобных треугольника ABC и A'B'C' с соответствующими биссектрисами AD и A'D'. Давайте обозначим отрезки, ради которых проходят биссектрисы, как BD и B'D'. Затем рассмотрим отношение BD к AD и отношение B'D' к A'D'. Если эти отношения равны, то утверждение будет истинным.
Для доказательства равенства этих отношений, воспользуемся теоремой о биссектрисе:
В треугольнике ABC биссектриса AD делит сторону BC в отношении BD:DC, где BD и DC - отрезки, на которые биссектриса делит сторону BC. Аналогично, в треугольнике A'B'C' биссектриса A'D' делит сторону B'C' в отношении B'D':D'C'.
Поскольку треугольники ABC и A'B'C' являются подобными, соответствующие стороны имеют одно и то же отношение подобия, то есть отношение AB к A'B', отношение BC к B'C' и отношение AC к A'C' равны.
Тогда отношение BD к AD должно быть равно отношению B'D' к A'D', поскольку BD и B'D', AD и A'D' являются отрезками, на которые биссектрисы делат стороны BC и B'C'.
Таким образом, утверждение 1 является истинным.
Утверждение 2: Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разбивает этот треугольник на два подобных треугольника.
Утверждение 2 не является истинным, так как медиана, проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, делит его на два равных подтреугольника, а не на два подобных треугольника.
Таким образом, утверждение 2 является ложным.
Утверждение 3: Если прямая пересекает две стороны неравнобедренного треугольника и не параллельна третьей его стороне, то она может отсекать от него треугольник, подобный данному.
Для проверки данного утверждения нужно убедиться в том, что для любой прямой, которая пересекает две стороны неравнобедренного треугольника и не параллельна третьей стороне, можно отсекать треугольник, подобный данному.
Рассмотрим следующую ситуацию: пусть треугольник ABC является неравнобедренным и прямая DEF пересекает стороны AB и AC, но не является параллельной стороне BC. Для того чтобы отсечь треугольник, подобный данному, нам необходимо выбрать такую точку G на прямой DEF, чтобы точки D, E и G были соответственно сторонами предполагаемого треугольника. Тогда прямые GA, GB и GC должны быть параллельны сторонам треугольника ABC. Это возможно только в случае, если точки A, B и C лежат на одной прямой, то есть треугольник ABC тогда окажется вырожденным.
Таким образом, утверждение 3 является ложным.
Утверждение 4: Прямая, пересекающая две стороны равностороннего треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.
Утверждение 4 является истинным.
Для проверки данного утверждения представим себе равносторонний треугольник ABC, и пусть прямая DE пересекает стороны AB и AC. Для отсечения треугольника, подобного данному, нам необходимо выбрать такую точку F на прямой DE, чтобы точки D, E и F были соответственно сторонами предполагаемого треугольника. Затем, мы найдём середины сторон треугольника ABC (назовём их M, N и P). Тогда прямые MF, NE и PD будут параллельны сторонам треугольника ABC, поскольку они проходят через середины соответствующих сторон.
Таким образом, утверждение 4 является истинным.
Утверждение 5: Любые два равносторонних треугольника подобны.
Утверждение 5 является истинным.
Два треугольника считаются подобными, если их соответствующие углы равны, и отношение длин любых двух их сторон равно. Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все три стороны равны, а значит он имеет три равных угла.
Таким образом, все равносторонние треугольники имеют три равных угла и отношение длин всех их сторон равно, поэтому они подобны друг другу.
Таким образом, утверждение 5 является истинным.
Итак, истинными являются утверждения 1, 4 и 5. Они доказаны выше с использованием соответствующих рассуждений и пошагового решения.