Задача:
В прямоугольном треугольнике ABC угол C =90° угол B=30°, AB=12 см, CD- высота.
а)Докажите, что треугольник ACD подобен треугольнику ABC, найдите отношение их площадей б)отрезки, на которые биссектриса угла A делит катет BC
Объяснение:
а)Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Значит ΔАСД подобен ΔАВС:, т.к. ∠Д=∠С=90 , ∠А=∠общий. Найдем коэффициент подобия к=АС/АВ, к=6/12, к=1/2.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициенту подобия: S(АСД):S(АВС)=к² , S(АСД):S(АВС)=1/4 .
б)
Найдем стороны в ΔАВС :
СА=1/2 АВ по св.угла 30, СА=6.
СВ²=АВ²-СА² по т. Пифагора, СВ²=144-36=108, СВ=√108=6√3.
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:
СЕ:СА=ВЕ:ВА .
Пусть СЕ=х, ВЕ=6√3-х
х:6 =(6√3-х):12
6√3-х=2х
6√3=3х
х=2√3 т.е СЕ=2√3, ВЕ=6√3-2√3=4√3
Если условие такое:
В прямоугольной трапеции АВСД с основаниями 17 см и 25 см диагональ АС является биссектрисой острого угла А. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.
То решение такое
Угол а делится биссектрисой на равные углы а и в (а=в)
проведу высоту из вершины А АН=h=СВ
Рассмотрим треугольники
СНА и ВАС
АН=h=СВ
АС - общая
То есть СНА=ВАС => уг.АСН=уг.ВАС=в=а=ДАС => Треуг. СДА -равнобедренный+. АД=СД=17
Рассмотрим треугольник ДНА
ДН=АВ-СД=8
АД=17
По теореме Пифагора АД=корень из(17^2-8^2)= корень из((17-8)*(17+8))=15
CВ=h=АД=15
ответ 15
Дано:
а=12
в=12
с=13
Найти Р=?
Р=а+в+с
Р=37