1) Рассмотрим 2 треугольника: АВВ1, АОС1: - оба прямоугольные - уголВАО общий известно, что сумма острых углов прямоугольного треугольника величина постоянная (равна π/2), или: уголАВВ1+уголВАВ1=уголАОС1+уголС1АО(=π/2), очевидно: уголВАВ1≡уголС1АО(≡ВАО), уголАВВ1≡уголАВС, уголАОС1≡уголАОС⇒получаем: уголАВС+уголВАО=уголАОС+уголВАО, уголАВС=уголАОС, ч.т.д
или вот так: уголВСС1=уголОСВ1 (вертикальные при пересекающихся ОС1иВВ1)) Тогда π/2-уголВСС1=π/2-уголОСВ1, а из треугольников(прямоугольных) ΔВСС1, ΔОСВ1 получим, что эти углы равны тем которые нам надо сравнить: уголАВС=уголАОС, ч.т.д
2) это утверждение верно, только если АС=СВ, то есть нам дан равнобедренный тупоугольный треугольник.
A). Теорема: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. В нашем случае прямая CD, не лежащая в плоскости α, параллельна прямой АВ, лежащей в плоскости α (как противоположные стороны ромба). Следовательно, прямая CD параллельна плоскости α. Все точки прямой, параллельной плоскости, равноудалены от этой плоскости. Следовательно, точки D и С, принадлежащие прямой СD, параллельной плоскости α, равноудалены от плоскости α, то есть расстояние СN от точки С до плоскости α равно расстоянию DM от точки D до этой плоскости. ответ: искомое расстояние равно а/2.
б). Определение: Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются гранями двугранного угла. Общая для граней прямая АВ (линия пересечения плоскостей) называется ребром двугранного угла. Обозначение двугранного угла: DABМ, где D и M -это любые точки, лежащие в разных гранях, а АВ – ребро двугранного угла. Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. Расстояние от точки D до плоскости α равно длине перпендикуляра DМ, опущенного на плоскость из этой точки. Проведем через прямую DМ плоскость, перпендикулярную прямой АВ. Эта плоскость и даст нам линейный угол DHM двугранного угла DABМ (угла между плоскостями ромба АВСD и α).
в). Итак, имеем прямоугольный треугольник DHM (угол DMH=90°) с катетом DM, равным расстоянию от точки D до плоскости α и гипотенузой DH, перпендикулярной стороне ромба. Sin(DHM)=DM/DH (отношение противолежащего катета к гипотенузе), где DH - высота ромба. В прямоугольном треугольнике АНD SinA=DH/DA. Тогда DH=DA*Sin60°=a√3/2. DH=a√3/2. DM=a/2 (дано). Тогда Sin(DHM)=DM/DH=(a/2)/(a√3/2)=1/√3 или √3/3. ответ: Sin(DHM)=√3/3.
Рассмотрим 2 треугольника: АВВ1, АОС1:
- оба прямоугольные
- уголВАО общий
известно, что сумма острых углов прямоугольного треугольника величина постоянная (равна π/2), или:
уголАВВ1+уголВАВ1=уголАОС1+уголС1АО(=π/2),
очевидно: уголВАВ1≡уголС1АО(≡ВАО), уголАВВ1≡уголАВС, уголАОС1≡уголАОС⇒получаем:
уголАВС+уголВАО=уголАОС+уголВАО,
уголАВС=уголАОС, ч.т.д
или вот так:
уголВСС1=уголОСВ1 (вертикальные при пересекающихся ОС1иВВ1))
Тогда π/2-уголВСС1=π/2-уголОСВ1,
а из треугольников(прямоугольных) ΔВСС1, ΔОСВ1 получим, что эти углы равны тем которые нам надо сравнить:
уголАВС=уголАОС, ч.т.д
2) это утверждение верно, только если АС=СВ, то есть нам дан равнобедренный тупоугольный треугольник.