Question

Длина сторон треугольника равны а, б, в. а, б, в - простые числа. докажите, что площадь этого треугольника не целое число.

Answer 1

Да запросто, по крайней мере, я постараюсь.)

Площадь будем искать по Герона, так как известны только стороны, равные a, b, c.

p=(a+b+c)/2;

S=√((a+b+c)/2)*(b+c-a)/2*(a+c-b)/2*(a+b-c)/2)=(1/4)√(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c).

16S²=(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c).

Допустим, S-целое число, в таком случае выражение под корнем должно быть кратно 4-рем. Отсюда следует, что либо все 3 числа четные, либо среди них 1 четное и 2 нечетных.

1) все четны, т.е., a=b=c=2;

S=√3*1=√3 - не целое.

2) 1 четное и 2 нечетных:

Примем a=2, b≠c - нечетные числа.

В таком случае |b-c|≥2, т.к. следующие два простых числа после двойки 3,5. Неравенство треугольника не выполнено.

3) a=2; b=c;

S=√(1+b)(b-1)=√b²-1.;

Очевидно, что данное равенство для S не имеет решений в целых числах.

Т.е., доказанно, что площадь этого треугольника не целое число.