Аналитическая геометрия задача Даны плоскость x-2y-2z +11=0, прямая x+2/2=y-2/1=z+2/1 и точка M (2;1;1) . Найти уравнение прямой, проходящей через точку M параллельно заданной плоскости так, чтобы она пересекала данную прямую и найти эту точку пересечения.
Шаг 1: Найдем направляющий вектор прямой, параллельной заданной плоскости.
Для этого возьмем коэффициенты при x, y и z в уравнении плоскости. В данном случае у нас коэффициенты 1, -2 и -2, соответственно. Обозначим их через a, b и c. Тогда направляющий вектор прямой будет равен [a, b, c].
Таким образом, направляющий вектор прямой будет [1, -2, -2].
Шаг 2: Найдем координаты точки пересечения прямой и заданной прямой.
Для этого используем формулу нахождения точки пересечения двух прямых в пространстве.
Открываем скобки и раскрываем знаменатели, получим систему уравнений:
(x-2)/1 = (y-1)/(-2) = (z-1)/(-2) = t, где t - параметр прямой.
Теперь приравняем каждое из равенств к координатам точки M и решим систему уравнений:
(x-2)/1 = 2
(y-1)/(-2) = 1
(z-1)/(-2) = 1
Решая каждое уравнение, получим:
x-2 = 2 => x = 4
y-1 = -2 => y = -1
z-1 = -2 => z = -1
Таким образом, координаты точки пересечения прямой и заданной плоскости равны (4, -1, -1).
Шаг 3: Найдем уравнение прямой, проходящей через точку M и параллельной заданной плоскости.
Так как вектор прямой параллельной заданной плоскости равен [1, -2, -2], уравнение прямой будет иметь вид:
(x-2)/1 = (y-1)/(-2) = (z-1)/(-2)
Теперь, когда у нас есть уравнение прямой и координаты точки пересечения, мы можем полностью ответить на вопрос задачи:
Уравнение прямой, проходящей через точку M параллельно заданной плоскости, будет иметь вид:
(x-2)/1 = (y-1)/(-2) = (z-1)/(-2)
Точка пересечения этой прямой с заданной прямой будет иметь координаты (4, -1, -1).