На рисунке изображена правильная шестиугольная пирамида SABCDEF. Длина бокового ребра равна 10 см, а радиус окружности, описанной около основания, равен 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Сначала докажем, что треугольники подобны( по двум пропорциональным сторонам и углу) - 12 относится к 3, как 16 относится к 4(пропорцией составь), коэффициет пропорциональности равен 4, соответствующие углы по условию равны. Доказали. Теперь найдём неизвестную сторону в треугольнике АВС. Зная, что треугольники подобны, имеем 12 относится к 3 как 16 относится к 4 и как неизвестная сторона относится к 2. Так как коэффициент пропорциональности равен 4, значит, неизвестная сторона в четыре раза больше соответствующей ей в меньшем треугольнике и равна 8. Р треугольника АВС = 12 см+16см+8см=36см.
В треугольнике АВС: <A=60°, <C=45°, высота ВН=5 см. В прямоугольном треугольнике АВН катет АН равен АН=ВН*tg30° или АН=5*(√3/3) см. Или так: В прямоугольном треугольнике АВН гипотенуза АВ=2*АН (АН - катет против угла 30°). Тогда по Пифагору 4АН²-АН²=25 или 3*АН²=25. АН=5√3/3. В прямоугольном треугольнике СВН угол СВН равен 45°, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Это равнобедренный треугольник и ВН=НС=5 см. Тогда АС=АН+НС или АС=5√3/3 + 5 = (5√3/3+15)/3 см. Площадь треугольника равна S=(1/2)*BH*AC или Sabc=(1/2)*5*((5√3/3 +15)/3)=25(√3+3)/6 ≈ 118,3/6 ≈19,72 см. ответ: Sabc≈19,72 см.
Теперь найдём неизвестную сторону в треугольнике АВС. Зная, что треугольники подобны, имеем 12 относится к 3 как 16 относится к 4 и как неизвестная сторона относится к 2. Так как коэффициент пропорциональности равен 4, значит, неизвестная сторона в четыре раза больше соответствующей ей в меньшем треугольнике и равна 8.
Р треугольника АВС = 12 см+16см+8см=36см.