сделай рисунок
точка А над плоскостью
отрезок ВС в плоскости
треугольник АВС равнобедренный, потому что AB=AC
угол < BAC=60 ГРАДУСОВ
тогда два других равны, каждый по (180-60)/2=60
следовательно треугольник АВС -равносторонний (все стороны равны)
для простоты пусть их длина AB=BC=AC=b
ТЕПЕРЬ
проекция на плоскости-
это прямоугольный равнобедренный треугольник А1ВС, у которого
ВС-гипотенуза ВА1 = СА1 -катеты (они тоже равны)
это следует из равенства треугольников ВАА1 и САА1 (по двум сторонам и углу)
дальше по теореме Пифогора СВ^2=BA1^2+CA1^2 , отсюда ВА=СА=b/√2
cos< A1BA =A1B/AB=b/√2/b=1/√2=√2/2
это значит < A1BA = 45 град
тоже самое для угла < A1CA
ответ < A1BA = < A1CA=45 град
В любой правильный многоугольник можно вписать единственную окружность.
Доказательство:
Надо доказать, что существует точка, равноудаленная от сторон многоугольника.
Пусть О - центр окружности, описанной около правильного многоугольника.
Тогда ОА₁ = ОА₂ = ОА₃ = ... как радиусы описанной окружности, значит треугольники ОА₁А₂, ОА₂А₃ и т.д. равны по трем сторонам (отрезки А₁А₂, А₂А₃ и т.д. равны, как стороны правильного многоугольника),
но тогда равны и высоты этих треугольников, проведенные к сторонам А₁А₂, А₂А₃ и т.д.
Значит, точка О равноудалена от сторон многоугольника, и окружность с центром в точке О и радиусом, равным ОК₁, пройдет через точки К₁, К₂, и т.д., то есть будет касаться сторон многоугольника и значит будет вписанной.
В правильном многоугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Докажем, что эта окружность единственная.
Предположим, что существует еще одна окружность с центром в некоторой точке О₁, вписанная в тот же правильный многоугольник.
Тогда точка О₁ равноудалена от сторон этого многоугольника, значит лежит в точке пересечения биссектрис его углов, значит совпадает с точкой О - точкой пересечения его биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон, т.е. равен ОК₁, значит эти окружности совпадают.