В четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны. Кроме того, внутри него существует такая точка O, что AO = OD, BO = CO. Докажите, что диагонали этого четырехугольника равны.
У параллелограмма противоположные углы равные а) сума двух соседних углов 180 градусов пусть I угол = х, тогда II второй угол = х+40 их сума 180 градусов выходит уравнение : х+х+40 градусов = 180 градусов 2х+40 = 180 2х=140 х=70 градусов I угол = 70 градусов, тогда II угол = х+40=110 градусов так как противоположные углы равные, значит противоположный угол І угла равняется ему, тоесть он тоже 70 градусов а противоположный ІІ угла равняется ему , тоесть он тоже 110 градусов в) пусть I угол =х, тогда II = 5х опять же сумма их 180 градусов уравнение : х+5х=180 6х=180 х=30 градусов получается І угол у нас 30 градусов, тогда ІІ угол = 5х = 150градусов и опять противоположные, противоположный І угла равняется ему, равняется 30 градусов а противоположный ІІ тоже равняется ему, тоесть 150 градусов
У параллелограмма противоположные углы равные а) сума двух соседних углов 180 градусов пусть I угол = х, тогда II второй угол = х+40 их сума 180 градусов выходит уравнение : х+х+40 градусов = 180 градусов 2х+40 = 180 2х=140 х=70 градусов I угол = 70 градусов, тогда II угол = х+40=110 градусов так как противоположные углы равные, значит противоположный угол І угла равняется ему, тоесть он тоже 70 градусов а противоположный ІІ угла равняется ему , тоесть он тоже 110 градусов в) пусть I угол =х, тогда II = 5х опять же сумма их 180 градусов уравнение : х+5х=180 6х=180 х=30 градусов получается І угол у нас 30 градусов, тогда ІІ угол = 5х = 150градусов и опять противоположные, противоположный І угла равняется ему, равняется 30 градусов а противоположный ІІ тоже равняется ему, тоесть 150 градусов
Рассмотрим ∆BOA и ∆COD.
BO=CO по условию;
AB=CD по условию;
АО=DO по условию;
Следовательно ∆ВОА=∆COD по трём сторонам.
Исходя из равенства: угол АВО=угол DCO как соответственные углы равных треугольников. Пусть каждый из этих углов равен х.
Так как ВО=СO, то ∆ВОС – равнобедренный с основанием ВС.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть угол СВО=угол ВСО.
Пусть каждый из них равен z.
Угол АВС=угол АВО+угол СВО=х+z;
Угол DCB=угол DCO+угол ВСО=х+z;
Получим что угол АВС=угол DCB.
Рассмотрим ∆АВС и ∆DCB.
ВС – общая сторона;
Угол АВС=угол DCB (доказано ранее)
АВ=CD по условию;
Следовательно ∆АВС=∆DCB по двум сторонам и углу между ними.
Значит АС=BD как соответственные стороны равных треугольников.
Доказано.