Дан ΔABC площадью 18 см² ; М-точка пересечения его медиан. Прямая, проходящая через точку A и параллельная прямой BC, пересекает прямую BM в точке K, а прямую CM в точке N. Прямые BK и AC пересекаются в точке L. Найдите площадь Δ MLN
Решение.
S(МСВ)=1/3*18=6 (см²) по свойству медиан о разбиении треугольника на 6 равновеликих.
1)ΔАКL=ΔBCL по стороне и 2-м прилежащим углам :AL=LC (ВL-медиана) , ∠1=∠2 как накрест лежащие при АК||ВС , АС-секущая ,∠АLK=∠CLB как вертикальные .
{Значит S(АКL)=S(BCL)=1/2*18=9 (cм²);
{Значит LK=BL
2)Пусть ML=x , тогда по т. о точке пересечения медиан ВМ=2х, BL=3x, LK=3x.
3) ΔMNK ~ ΔMCB по 2-м углам :∠3=∠4 как накрест лежащие , ∠NMK=∠CMB как вертикальные ⇒ отношение площадей равно к².
k= 
⇒ S(MNK) : 6= 2² , S(MNK)=24
4) 
= 
, S(MNL)= 6 cм²
Даны точки A (-3;5) и B(4;2).
Примем координаты точки М(х; у).
Вектор АМ = ((х + 3); (у - 5)), вектор ВМ = ((х - 4); (у - 2)),
Длина АМ = √(((х + 3)² + (у - 5)²) = √(x² + 6x + 9 + y² - 10y + 25),
Длина BМ = √(((х - 4)² + (у - 2)²) = √(x² - 8x + 16 + y² - 4y + 4).
По условию задания:
3*√(x² + 6x + y² - 10y + 34) = √(x² - 8x + y² - 4y + 20).
Возведём в квадрат.
9*(x² + 6x + y² - 10y + 34) = x² - 8x + y² - 4y + 20.
9x² + 54x + 9y² - 90y + 306 = x² - 8x + y² - 4y + 20.
8x² + 62x + 8y² - 86y + 286 = 0.
Сократим на 8.
x² + (31/4)x + y² - (43/4)y + (143/4) = 0.
Выделим полные квадраты и получаем уравнение окружности:
(x + (31/8))² + (y - (43/8))² = 261/32.
Центр окружности О = (-31/8); (43/8)), радиус R = 2,855915.