Sокр = πr² = π· а²Sin²α/(4·(1+Sin(α/2))²).
Объяснение:
Треугольник АВС - равнобедренный =>
ВН - высота, биссектриса и медиана. =>
AH = a·Sin(α/2) => AC = 2·a·Sin(α/2).
Формула радиуса вписанной в треугольник окружности:
r = S/p.
Формула площади данного нам треугольника:
S = (1/2)·a²·Sinα.
Полупериметр треугольника АВС:
p = (2a+2·a·Sin(α/2))/2 = а(1+Sin(α/2)).
r = ((1/2)·a²·Sinα)/(а(1+Sin(α/2))) = a·Sinα/(2·(1+Sin(α/2))).
r² = а²Sin²α/(2·(1+Sin(α/2)))².
Sокр = πr² = π· а²Sin²α/(4·(1+Sin(α/2))²).
Если теперь вспомнить (именно в этот момент :) ), что точка M - центр окружности, описанной вокруг ABC, то есть MB = MC = MA; то это значит, что точка P тоже лежит на описанной окружности.
Получается, что ∠ACP и ∠ABP оба вписанные в окружность, описанную вокруг треугольника ABC и опираются на дугу AP этой окружности. Поэтому они равны. Очевидно, что ∠ABP равен половине ∠ABC; поэтому
ответ ∠ACP = 32,5°