Question

1. Відстань від центра основи конуса до середини твірної дорів- нюе 5 см. Знайдіть радіус основи конуса, якшо його висота до- рівиює 6 см. ответ?
2. Гіпотенуза й катет прямокутного трикутника відовідно дорів- нюють 10 см і 8 см. Відстань від площини трикутника до центра кул, яка дотикається до всіх сторін трикутника, дорівнюе 4 см. Знайдіть радіyс кулі.
ответ?

Answer 1

1. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора.

Пусть р - радиус основа конуса, а з - расстояние от центра основы конуса до середины твирной дороги. В данной задаче дано, что з = 5 см, а h = 6 см.

Обозначим расстояние от вершины конуса до середины основы как х. Так как з = 5 см и х = 6 см, то можем записать уравнение по теореме Пифагора:

р² = (р-х)² + з².

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

р² = р² - 2хр + х² + з².

Упростим это уравнение:

0 = - 2хр + х² + з².

Теперь подставим значения з и х:

0 = - 2 * 5 * р + 6² + 5².

0 = -10р + 36 + 25.

0 = -10р + 61.

10р = 61.

р = 61/10 = 6.1 см.

Ответ: радиус основы конуса равен 6.1 см.

2. Найдем радиус кулi, который касается всех сторон прямоугольного треугольника.
Обозначим радиус кулi как R.

Из задачи известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из катетов равен 8 см. Также дано, что расстояние от плоскости треугольника до центра кулi равно 4 см.

Рисунок может помочь представить себе ситуацию:

```
/|\
/ | \
/ | \
/ |h \
/ | \
/ R \
/ \
/ \
/_________________\
a = 10
______________
B c C
8 x
```

Обозначим катет, к которому опущена перпендикулярная, как х. Так как х = 4 см и один из катетов равен 8 см, можем записать уравнение по теореме Пифагора:

10² = х² + (Р - R)².

Упростим это уравнение:
100 = х² + Р² - 2РR + R².

Уравнение можно еще упростить, обозначив Р² - 2РR + R² как 2R(Р - R).

100 = х² + 2R(Р - R).

Теперь подставим значение х:

100 = 4² + 2R(Р - R).

100 = 16 + 2R(Р - R).

84 = 2R(Р - R).

42 = R(Р - R).

Теперь разложим Р - R на множители с помощью формулы разности квадратов:

42 = R(Р² - R²).

42 = R(Р + R)(Р - R).

Р + R = 10 (по условию задачи).

42 = 10R(10 - R).

42 = 100R - 10R².

10R² - 100R + 42 = 0.

Решая это квадратное уравнение, получаем два значения для R:

R₁ = (100 + √(100² - 4 * 10 * 42)) / (2 * 10) ≈ 7.32 см.

R₂ = (100 - √(100² - 4 * 10 * 42)) / (2 * 10) ≈ 0.68 см.

Ответ: радиус кули равен примерно 7.32 см или 0.68 см.