Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1 ребро которого равно 3 см. Найдите
расстояние между прямыми A1B1 и DD1

Answer 1

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться формулой расстояния между двумя параллельными прямыми. Формула звучит следующим образом:

d = | m1x + m2y + m3 | / sqrt(m1^2 + m2^2)

Где m1, m2 и m3 - это коэффициенты в уравнении прямой, а x и y - координаты точки на этой прямой.

Давайте теперь найдем коэффициенты m1, m2 и m3 для прямых A1B1 и DD1.

Прямая A1B1 проходит через точки A1(3, 0, 0) и B1(0, 3, 0). Прямая DD1 проходит через точки D(0, 0, 0) и D1(0, 0, 3).

Вычисляем:

m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)
= (3 - 0) / (0 - 3)
= -1

m2 = (z2 - z1) / (x2 - x1)
= (0 - 0) / (0 - 3)
= 0

m3 = -m1 * x1 - m2 * y1
= -(-1) * 3 - 0 * 0
= -3

Теперь, чтобы найти расстояние между этими прямыми, нам нужно найти точку, которая лежит одновременно на прямой A1B1 и на прямой DD1.

Используя параметрическое представление прямых, найдем это пересечение. Для прямой A1B1:

x = 3t
y = 3 - 3t
z = 0

Для прямой DD1:

x = 0
y = 0
z = 3t

Теперь, приравняем z-координаты и найдем t:

0 = 3t
t = 0

Теперь используем найденное t, чтобы найти координаты этой точки пересечения:

x = 3 * 0 = 0
y = 3 - 3 * 0 = 3
z = 3 * 0 = 0

Таким образом, точка пересечения двух прямых имеет координаты (0, 3, 0).

Подставим эти коэффициенты в формулу для расстояния между прямыми:

d = | -1 * 0 + 0 * 3 - 3 | / sqrt((-1)^2 + 0^2)
= |-3| / sqrt(1 + 0)
= 3 / 1
= 3 см

Таким образом, расстояние между прямыми A1B1 и DD1 равно 3 см.