Вариант 22 1. С скалярного произведения найти косинусы внутренних углов треугольника MNP: м (2, -4); N (7,0); Р (6, -4) 2. Найти длины сторон треугольника (используя длину вектора). 3. Найти синус угла Мс теоремы синусов и доказать, что для этого угла выполняется основное тригонометрическое тождество.
GA + GB + GC = 0; (1) если G - точка пересечения медиан. На самом деле это соотношение можно вообще считать определением, но и в обычном школьном определении это тривиально показать, так как GA + GB = 2*GM = - GC; где M - середина AB Тогда 3*PG = PA + PB + PC; (2) для любой точки P - это сразу видно, если подставить PA = PG + GA; PB = PG + GA; PC = PG + GC; Из (1) после возведения в квадрат 0 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 2(GA*GB +GA*GB + GB*GC); (3) а из (2) 9*PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2(PA*PB + PA*PC + PB*PC) = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2((PG + GA)*(PG + GB) + (PG + GA)*(PG + GC) + (PG + GB)*(PG + GC)) = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 6*PG^2 + 4*PG*(GA + GB + GC) + 2(GA*GB + GA*GC + GB*GC); если учесть (1) и (3), получается 3*PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 - (GA^2 + GB^2 + GC^2) Везде жирным шрифтом обозначены вектора, а PA*PB означает в этих случаях скалярное произведение. ЧТД
h = ВС = 9 см
∠А = 60°
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС (∠С=90) :
1) ВС=h= 9 см ; АС=r - катеты
АВ = l - гипотенуза
2) Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°
∠В = 90 - ∠А ⇒ ∠В = 90 - 60 = 30°
Катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы. Следовательно:
АС =¹/₂ * АВ ⇒ АВ = 2АС ⇒ l = 2r
По теореме Пифагора: АВ² = АС² + ВС²
(2r)² = r² + 9²
4r² - r² = 81
3r² = 81
r² = 81/3
r² =27
r=√27
r=√(9*3)
r= 3√3 ⇒ АС = r = 3√3 см
3) Объем конуса :
V= ¹/₃ * πr²h
V = ¹/₃ π (3√3)² * 9 = ¹/₃ * (√27)² * 9*π = ²⁴³/₃ π = 81π (см³)
при π ≈ 3,14 ⇒ V ≈81 * 3.14 ≈ 254.34 (см³)