Question

Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O, причому вектор AO = вектору a ,вектор OD = вектору b. Користуючись даними, виразіть через вектори a i b: 1) Вектор AB
2) Вектор BC

Answer 1

Для того чтобы выразить вектор AB через векторы a и b, мы можем использовать свойство параллелограмма, гласящее, что диагонали параллелограмма делятся пополам. То есть, точка O является серединой отрезка AC и BD.

1) Для нахождения вектора AB, мы можем использовать свойство суммы векторов, которое гласит, что сумма двух векторов равна вектору, соединяющему концы этих векторов.

Из этого следует, что вектор AB можно выразить следующим образом:
AB = AO + OB

Так как мы знаем, что вектор AO равен вектору a, а точка O является серединой отрезка AC, мы можем выразить вектор OB через векторы a и b следующим образом:
OB = OC + CB

Так как O является серединой отрезка AC, то можно сказать, что вектор OC равен вектору a.
Следовательно, можем записать так:
OB = a + CB

Теперь нам нужно найти вектор CB. Мы знаем, что точка O является серединой отрезка BD, а вектор OD равен вектору b.
То есть, можно записать:
CB = CD - BD

Так как точка O является серединой отрезка BD, то можно сказать, что вектор CD равен вектору b.
Следовательно, можем записать:
CB = b - BD

Теперь нам нужно выразить вектор BD через векторы a и b. Мы знаем, что точка O является серединой отрезка AC, а вектор OC равен вектору a.
То есть, можно записать:
BD = BA - AD

Другими словами, вектор BD равен разности векторов BA и AD.
Следовательно, можем записать:
CB = b - (BA - AD)

Теперь у нас есть выражение для вектора CB. Подставим его в предыдущее выражение:
OB = a + (b - (BA - AD))

Произведем раскрытие скобок:
OB = a + b - BA + AD

Из свойства суммы векторов, мы знаем, что вектор BA + AD равен вектору BD. То есть, мы можем записать:
OB = a + b - BD

Таким образом, мы выразили вектор AB через векторы a и b:
AB = AO + OB
AB = a + (a + b - BD)
AB = 2a + b - BD

2) Аналогичным образом мы можем выразить вектор BC через векторы a и b, используя свойства параллелограмма и суммы векторов.

Вектор BC можно выразить следующим образом:
BC = BO + OC

Мы уже знаем, что вектор BO равен вектору OB, поэтому можем записать:
BC = OB + OC

Из предыдущей части задания мы знаем выражение для вектора OB:
OB = a + (b - BD)

Также мы знаем, что точка O является серединой отрезка AC, а вектор OC равен вектору a.
То есть, можно записать:
BC = a + (a + (b - BD))

Произведем раскрытие скобок:
BC = 2a + b - BD

Таким образом, мы выразили вектор BC через векторы a и b:
BC = 2a + b - BD