В трапеции ABCD боковая сторона AB равна диагонали BD. Точка M - середина диагонали AC. Прямая BM пересекает прямую CD в точке E. Докажите, что BE = CE.
Объяснение:
К - точка пересечения прямой ВМ с основанием AD.
Рассмотрим треугольники АМК и СМВ:
АМ = МС по условию,
∠АМК = ∠СМВ как вертикальные,
∠МАК = ∠МСВ как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АК и ВС секущей АС, ⇒
ΔАМК = ΔСМВ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Следовательно, АК = ВС.
Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.
Значит, АВСК параллелограмм. ⇒ СК = АВ.
АВ = BD по условию, ⇒ СК = BD.
В трапеции KBCD диагонали равны, значит она равнобедренная.
Тогда ∠BKD = ∠CDK.
∠ЕВС = ∠BKD и ∠ЕСВ = ∠CDK как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых KD и ВС секущими EК и ED соответственно, ⇒
∠EBC = ∠ECB.
Из этого следует, что треугольник ЕВС равнобедренный и
ВЕ = СЕ.
Проведем через точку Р прямую PB, параллельную основанию MLтреугольника KLM. На касательной PL отметим точку А. <KLA=<KML (так как <KML - вписанный и опирается на дугу KL, а <KLA - угол между касательной LA и хордой KL, равный половине дуги KL - свойство).
<PLB=<KLA - вертикальные => <KML= <PLB. <PBL= <KLM (соответственные при параллельных ML и РВ), <KLM = <KML (углы при основании равнобедренного треугольника) => <PBL=<PLB и треугольник PLB равнобедренный. => PL=PB, HL=HB=PM/2.
По свойству касательной и секущей PL² =PK*PM = 8(8-a), где а - сторона треугольника KLM.
NL= a/2 (дано), LH=PM/2 = (8-a)/2. Проекция PN на КL - это отрезок NH = NL+LH = a/2+(8-a)/2 = 4.
ответ: 4 ед.