Question

Із даної точки А до площини проведено дві похилі АВ і АС та перпендикуляр АО. Знайдіть ВО і АС, якщо ВО + АС = 3см, АВ = √3см, ОС = 2см.

НА РУССКОМ
Из данной точки А к плоскости проведены две наклонные АВ и АС и перпендикуляр АО.
Найдите ВО и АС, если ВО + АС = 3см, АВ = √3см, ОС = 2см.

Answer 1

Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна всем прямым, лежащим на этой плоскости.

Следовательно угол АОВ=угол АОС=90°, значит ∆АОВ и ∆АОС – прямоугольные.

ВО+АС=3 см по условию. Пусть ВО=х, тогда АС=3–х.

В прямоугольном ∆АОВ по теореме Пифагора:

АВ²=АО²+ВО²

(√3)²=АО²+х²

АО²=3–х² (Ур 1)

По теореме Пифагора в прямоугольном ∆АОС:

АС²=ОС²+АО²

(3–х)²=2²+АО²

АО²=9–6х+х²–4

АО²=х²–6х+5 (Ур 2)

Подставим значение АО² из уравнения 1 в уравнение 2, получим:

3–х²=х²–6х+5

2х²–6х+2=0

х²–3х+1=0

Д=(–3)²–4*1*1=9–4=5

$x1 = \frac{3 - \sqrt{5} }{2} = 1.5 - 0.5 \sqrt{5} = 1.5 - \sqrt{1.25 } \\ x2 = \frac{3 + \sqrt{5} }{2} = 1.5 + 0.5 \sqrt{5} = 1.5 + \sqrt{1.25}$

Тогда ВО=1,5+√1,25 или ВО=1,5–√1,25

Катет прямоугольного треугольника всегда меньше гипотенузы, то есть ВО<АВ

1,5+√1,25<√3

1,5+1,118<1,732

2,618<1,732

Неверно

1,5–√1,25<√3

1,5–1,118<1,732

0,382<1,732

Верно, следовательно ВО=1,5–√1,25 см.

Тогда АС=3–(1,5–√1,25)=3–1,5+√1,25=1,5+√1,25

ответ: ВО=1,5–√1,25 см, АС=1,5+√1,25 см.