Question

Дан ромб, короткая диагональ которого равна стороне длиной 32 см. Определи скалярное произведение данных векторов:

1. DC−→−⋅AD−→−=
;

2. OB−→−⋅OC−→−=

3. AB−→−⋅DA−→−=
.

Answer 1

Для того чтобы решить эту задачу, нам необходимо разобраться с базовыми понятиями и свойствами ромба и векторов.

Дано, что короткая диагональ ромба равна стороне длиной 32 см. Из этого можно сделать вывод, что в ромбе каждая диагональ перпендикулярна к соответствующей стороне и делит ромб на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

Теперь перейдем к понятию скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение их длин каждого вектора на косинус угла между ними.

1. Для решения первого вопроса нам необходимо найти векторы DC и AD. Сначала найдем вектор DC. Вектор DC можно найти как разницу координат векторов D и C:

DC = (xC - xD, yC - yD)

Так как в ромбе диагонали равны, то координаты точек C и D будут равны координатам A и B, исходя из симметрии ромба. Поэтому вектор DC будет иметь следующие координаты:

DC = (xC - xA, yC - yA)

Так как дано, что короткая диагональ ромба равна стороне длиной 32 см, то длина стороны ромба также равна 32 см. Таким образом, координаты точек A и C можно выразить через координаты точки O и длину стороны ромба. Пусть (xO, yO) - координаты точки O.

Тогда координаты точек A и C будут:

A = (xO - 16, yO) (так как длина стороны ромба равна 32 см, а половина диагонали равна 16 см)
C = (xO + 16, yO)

Теперь найдем вектор AD. Он также будет иметь следующие координаты:

AD = (xO - xA, yO - yA)

Подставим найденные значения в выражение для скалярного произведения:

DC⃗⋅AD⃗ = (xC - xA)*(xO - xA) + (yC - yA)*(yO - yA)

Полученное выражение является достаточно сложным для простого ученика, поэтому чтобы упростить его, воспользуемся свойствами ромба. В ромбе диагонали перпендикулярны и делят ромб на равнобедренные прямоугольные треугольники. Из этого следует, что угол между векторами DC и DA равен 90 градусам. Так как косинус угла 90 градусов равен нулю, то и скалярное произведение этих векторов будет равно нулю.

1. DC⃗⋅AD⃗ = 0

2. Для решения второго вопроса нам необходимо найти векторы OB и OC. Обозначим координаты точки B (xB, yB). Тогда вектор OB будет иметь следующие координаты:

OB = (xB - xO, yB - yO)

Аналогично, обозначим координаты точки C (xC, yC). Тогда вектор OC будет иметь следующие координаты:

OC = (xC - xO, yC - yO)

Подставим найденные значения в выражение для скалярного произведения:

OB⃗⋅OC⃗ = (xB - xO)*(xC - xO) + (yB - yO)*(yC - yO)

Так как велечина (xB - xO)*(xC - xO) + (yB - yO)*(yC - yO) не зависит от расположения точки O и равна произведению длин векторов OB и OC на косинус угла между ними, то значение скалярного произведения не зависит от конкретных координат точек B, O и C. Ответ необходимо представить в виде аналитического выражения:

2. OB⃗⋅OC⃗ = (xB - xO)*(xC - xO) + (yB - yO)*(yC - yO)

3. Для решения третьего вопроса нам необходимо найти векторы AB и DA. Вектор AB можно найти как разность координат векторов A и B:

AB = (xA - xB, yA - yB)

Аналогично, вектор DA будет иметь следующие координаты:

DA = (xD - xA, yD - yA)

Подставим найденные значения в выражение для скалярного произведения:

AB⃗⋅DA⃗ = (xA - xB)*(xD - xA) + (yA - yB)*(yD - yA)

Аналогично предыдущему вопросу, величина (xA - xB)*(xD - xA) + (yA - yB)*(yD - yA) не зависит от конкретных координат точек A, B и D и равна произведению длин векторов AB и DA на косинус угла между ними. Ответ необходимо представить в виде аналитического выражения:

3. AB⃗⋅DA⃗ = (xA - xB)*(xD - xA) + (yA - yB)*(yD - yA)

Таким образом, ответ на каждый из вопросов представляется в виде аналитических выражений, которые могут быть посчитаны при известных координатах точек. Однако, ответ будет различаться в зависимости от конкретных значений координат точек A, B, C, D и O.