До кожної задачі має бути малюнок!
1. Пряма AB лежить у площині α (див. рисунок). Скільки точок прямої AB належить площині α?
(рис 1)
2. Точка M не лежить у площині чотирикутника ABCD. Яким є взаємне розташування прямих MD і BC?
3. Площини α і β паралельні. Прямі a і b належать площинам α і β відповідно. Через пряму a проведено площину, яка перетинає площину β по прямій c, яка паралельна прямій b. Як розташовані пряма a та пряма b?
4. ТТочка O – спільна середина кожного з відрізків AA1, BB1, CC1, що не лежать в одній площині. Вкажіть взаємне розташування площин (ABC) та (A1B1C1).
5. Точки A і B розташовані в одній із двох паралельних площин, точки C і D – в другій. Відрізки AC і BD перетинаються в точці M. Як розташовані прямі AB і CD?
6. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Зазначте паралельні площини, які містять мимобіжні прямі B1C1 і DD1.
(рис 2)
7. Трикутник AED і паралелограм ABCD не лежать в одній площині. Точки M і K – середини сторін AE і ED відповідно. Знайдіть MK, якщо BC=8 см.
8. Пряма a паралельна площині α. Через точки A і B прямої a проведено паралельні прямі, що перетинають площину α в точках A1 і B1 відповідно. Знайти площу чотирикутника AA1B1B, якщо A1B1 =17 см, AB1=10 см, BB1=21 cм. Пряма a паралельна площині α. Через точки A і B прямої a проведено паралельні прямі, що перетинають площину α в точках A1 і B1 відповідно. Знайти площу чотирикутника AA1B1B, якщо A1B1 =17 см, AB1=10 см, BB1=21 cм.
Для нахождения канонического уравнения прямой воспользуемся формулой:
Ax + By + C = 0, где A, B и C - это коэффициенты, которые мы должны найти.
3.1.1 Для прямой АВ:
Перед тем, как найти коэффициенты, найдем угловой коэффициент для прямой, используя формулу:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек на прямой.
m = (5 - (-4)) / ((-2) - 8) = 9 / (-10) = -9/10
Теперь зная угловой коэффициент, мы можем записать уравнение прямой АВ в канонической форме:
y - y1 = m(x - x1) (где (x1, y1) - координаты одной из точек на прямой)
Таким образом:
y - (-4) = (-9/10)(x - 8)
Упрощая уравнение, получаем:
y + 4 = (-9/10)x + 72/10
y = (-9/10)x + 72/10 - 4
y = (-9/10)x + 72/10 - 40/10
y = (-9/10)x + 32/10
Чтобы получить уравнение в канонической форме, умножим все члены на 10:
10y = -9x + 32
Таким образом, каноническое уравнение прямой АВ - 9x + 10y - 32 = 0.
3.1.2 Для прямой АС:
Аналогично найдем угловой коэффициент между точками А и С:
m = (-3 - (-4)) / ((-1) - 8) = 1 / (-9) = -1/9
Уравнение прямой АС в канонической форме будет:
y - (-4) = (-1/9)(x - 8)
уравнение(AС) будет иметь вид:y = -1/9x -20 + 4
y = -1/9x -16
Умножаем на 9 чтобы избавиться от знаменателя:
9y = -x -144
Таким образом, каноническое уравнение прямой АС - x + 9y + 144 = 0.
3.1.3 Для прямой ВС:
Найдем угловой коэффициент между точками В и С:
m = (-3 - 5) / ((-1) - (-2)) = -8 / 1 = -8
Уравнение прямой ВС в канонической форме будет:
y - 5 = -8(x - (-2))
y - 5 = -8(x + 2)
y - 5 = -8x - 16
y = -8x - 16 + 5
y = -8x - 11
Таким образом, каноническое уравнение прямой ВС - 8x + y + 11 = 0.
3.2 Уравнения прямых АВ, АС и ВС в общем виде:
Уравнение прямой в общем виде имеет вид Ax + By + C = 0, где коэффициенты A, B и C могут быть любыми.
3.2.1 Уравнение прямой АВ в общем виде:
9x - 10y + 32 = 0
3.2.2 Уравнение прямой АС в общем виде:
x + 9y + 144 = 0
3.2.3 Уравнение прямой ВС в общем виде:
8x - y + 11 = 0
3.3 Уравнения прямых АВ, АС и ВС с угловым коэффициентом:
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y = mx + c, где m - угловой коэффициент, а c - свободный член.
3.3.1 Уравнение прямой АВ с угловым коэффициентом:
y = -9/10x + 32/10
3.3.2 Уравнение прямой АС с угловым коэффициентом:
y = -1/9x -16
3.3.3 Уравнение прямой ВС с угловым коэффициентом:
y = -8x - 11
3.4 Углы А, В и С:
Для нахождения углов воспользуемся формулой для нахождения угла между двумя прямыми:
t = arctan((m1 - m2) / (1 + m1 * m2)), где m1 и m2 - угловые коэффициенты прямых.
3.4.1 Угол АВ:
m1 = -9/10, m2 = -1/9
t = arctan((-9/10 - (-1/9)) / (1 + (-9/10 * -1/9)))
t = arctan((-9/10 + 1/9) / (1 + 9/10/9))
t = arctan((-81/90 + 10/90) / (1 + 1/10))
t = arctan((-71/90) / (11/10))
t = arctan((-71/90) * (10/11))
t = arctan(-71/99) ≈ -38.94°
Таким образом, угол АВ около -38.94°.
3.4.2 Угол АС:
m1 = -9/10, m2 = -8
t = arctan((-9/10 - (-8)) / (1 + (-9/10 * -8)))
t = arctan((-9/10 + 8) / (1 + 9/10/8))
t = arctan((-2/10) / (1 + 9/10/8))
t = arctan((-2/10) / (1 + 9/80))
t = arctan((-2/10) / (1 + 9/80))
t = arctan((-2/10) / (1 + 9/80))
t = arctan(1/10) ≈ 5.71°
Таким образом, угол АС около 5.71°.
3.4.3 Угол ВС:
m1 = -1/9, m2 = -8
t = arctan((-1/9 - (-8)) / (1 + (-1/9 * -8)))
t = arctan((-1/9 + 8) / (1 + 1/9/8))
t = arctan((71/9*8) / (1 + 1/9/8))
t = arctan((71/9*8) / (1 + 1/72))
t = arctan(568/9*10) ≈ 89.94°
Таким образом, угол ВС около 89.94°.
3.5 Высоту треугольника АВС проведенную из вершины А:
Высота треугольника проведена из вершины А называется прямая, перпендикулярная стороне ВС и проходящая через точку А.
Для нахождения высоты треугольника из вершины А, необходимо найти угловой коэффициент прямой, перпендикулярной стороне ВС.
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен обратному числу, обратному угловому коэффициенту прямой ВС.
Таким образом, угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен 1/8.
Уравнение высоты треугольника будет иметь вид:
y - (-4) = (1/8)(x - 8)
y + 4 = (1/8)x - 1
y = (1/8)x - 1 - 4
y = (1/8)x - 5
Умножаем на 8 чтобы избавиться от знаменателя:
8y = x - 40
Таким образом, уравнение высоты треугольника АВС проведенной из вершины А - x - 8y + 40 = 0.