Question

Докажите, что четырехугольник ABCD
параллелограмм, и найдите
центр его симметрии, если
А(-2;-4;1), B(-5; -6;-1),
А(-1;4;3), B(-3;6;-5),
С(4;10;3), D(7;12;5).
С(3;0;-5), D(5;-2;3).
5.​

Answer 1

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нужно проверить выполнение двух условий:
1. Противоположные стороны должны быть равными.
2. Диагонали должны пересекаться в их средней точке (центре симметрии).

1. Проверим, являются ли противоположные стороны равными:
AB = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)
AB = sqrt((-5-(-2))^2 + (-6-(-4))^2 + (-1-1)^2)
AB = sqrt((-3)^2 + (-2)^2 + (-2)^2)
AB = sqrt(9 + 4 + 4)
AB = sqrt(17)

CD = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)
CD = sqrt((7-4)^2 + (12-10)^2 + (5-3)^2)
CD = sqrt(3^2 + 2^2 + 2^2)
CD = sqrt(9 + 4 + 4)
CD = sqrt(17)

Таким образом, AB = CD, что означает, что противоположные стороны равными.

2. Найдем координаты средней точки (центра симметрии) диагоналей:
Средняя точка M(x,y,z) находится путем нахождения среднего значения координат каждой точки диагонали:
x_M = (x_A + x_C) / 2
y_M = (y_A + y_C) / 2
z_M = (z_A + z_C) / 2

x_M = (-2 + 4) / 2 = 1
y_M = (-4 + 10) / 2 = 3
z_M = (1 + 3) / 2 = 2

Таким образом, координаты центра симметрии M равны (1, 3, 2).

Итак, мы доказали, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как выполнены оба условия: противоположные стороны равными и диагонали пересекаются в центре симметрии M(1, 3, 2).