Question

Даны векторы a (3; -1; 1), B(-5; 1; 0), C(-1; -2; 1). Вы- ясните, какой угол (острый, прямой или тупой) между
векторами: а) a и b; б) b и c; в) a и c.​

Answer 1

Добрый день, ученик! Рассмотрим каждый пункт вопроса по очереди:

а) Для определения угла между векторами a и b воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (a · b) / (||a|| ||b||),

где a · b - скалярное произведение векторов a и b, ||a|| и ||b|| - длины векторов a и b соответственно.

Найдем сначала скалярное произведение a · b:

a · b = (3 * -5) + (-1 * 1) + (1 * 0) = -15 - 1 + 0 = -16.

Теперь найдем длины векторов a и b:

||a|| = sqrt((3)^2 + (-1)^2 + (1)^2) = sqrt(9 + 1 + 1) = sqrt(11),

||b|| = sqrt((-5)^2 + (1)^2 + (0)^2) = sqrt(25 + 1 + 0) = sqrt(26).

Подставляя полученные значения в формулу для косинуса угла, получаем:

cos(θ) = -16 / (sqrt(11) * sqrt(26)).

Теперь найдем значение самого угла, используя обратную функцию косинуса (арккосинус):

θ = arccos(-16 / (sqrt(11) * sqrt(26))).

Подставляя численное значение в тригонометрический калькулятор, получим:

θ ≈ 106.03°.

Значение угла θ равно примерно 106.03°. Поскольку это значение больше 90°, то угол между векторами a и b является тупым.

б) Повторим те же шаги для нахождения угла между векторами b и c.

Сначала найдем скалярное произведение b · c:

b · c = (-5 * -1) + (1 * -2) + (0 * 1) = 5 - 2 + 0 = 3.

Затем найдем длины векторов b и c:

||b|| = sqrt((-5)^2 + (1)^2 + (0)^2) = sqrt(25 + 1 + 0) = sqrt(26),

||c|| = sqrt((-1)^2 + (-2)^2 + (1)^2) = sqrt(1 + 4 + 1) = sqrt(6).

Подставляя полученные значения в формулу для косинуса угла, получаем:

cos(θ) = 3 / (sqrt(26) * sqrt(6)).

Затем находим значение самого угла, используя арккосинус:

θ = arccos(3 / (sqrt(26) * sqrt(6))).

Подставляя численное значение в тригонометрический калькулятор, получим:

θ ≈ 50.18°.

Значение угла θ равно примерно 50.18°. Поскольку это значение меньше 90°, то угол между векторами b и c является острым.

в) Наконец, повторим действия для нахождения угла между векторами a и c.

Сначала найдем скалярное произведение a · c:

a · c = (3 * -1) + (-1 * -2) + (1 * 1) = -3 + 2 + 1 = 0.

Затем найдем длины векторов a и c:

||a|| = sqrt((3)^2 + (-1)^2 + (1)^2) = sqrt(9 + 1 + 1) = sqrt(11),

||c|| = sqrt((-1)^2 + (-2)^2 + (1)^2) = sqrt(1 + 4 + 1) = sqrt(6).

Подставляя полученные значения в формулу для косинуса угла, получаем:

cos(θ) = 0 / (sqrt(11) * sqrt(6)) = 0.

Поскольку знаменатель равен нулю, угол θ становится неопределенным.

В итоге, угол между векторами a и c неопределен.