1. Дан куб. Определи, какая из названных в ответе прямых перпендикулярна данной плоскости? а) Плоскости (BCC1) перпендикулярна прямая AC AA1 B1C1 BD AC1 AB BD1 б) Плоскости (BDD1) перпендикулярна прямая AC1 AA1 AB BD1 B1C1 AC BD 2. В какой ситуации проведённая прямая, которая не находится в плоскости названной фигуры, перпендикулярна плоскости этой фигуры? Прямая проведена перпендикулярно основаниям трапеции Прямая проведена перпендикулярно двум сторонам параллелограмма Прямая проведена перпендикулярно сторонам ромба с общей вершиной Прямая проведена перпендикулярно двум диаметрам окружности Прямая проведена перпендикулярно диагоналям прямоугольника
1. Для определения, какая из перечисленных прямых перпендикулярна данной плоскости, нужно пронаблюдать, как перпендикулярные прямые пересекают плоскость и как они расположены относительно нее.
- Плоскость (BCC1) перпендикулярна прямой AC: Для проверки этого, мы можем взять пару точек на прямой AC и на плоскости (BCC1). Например, возьмем точку A(1, 0, 0) и точку C(1, 1, 0) и проверим, пересекаются ли они. Подставим их координаты в уравнение плоскости (BCC1) и рассмотрим полученное равенство: 0 + 1 + 0 ≠ 0. Так как координаты A и C не удовлетворяют уравнению плоскости (BCC1), то прямая AC не перпендикулярна данной плоскости.
- Плоскость (BCC1) перпендикулярна прямой AA1: Для проверки этого, нужно сравнить наклон прямой AA1 с плоскостью (BCC1). Плоскость (BCC1) имеет угловой коэффициент a = 0, поскольку она параллельна плоскости xy, в то время как у прямой AA1 угловой коэффициент x = x1 - x2 = 1 - 1 = 0. Так как угловые коэффициенты равны, то прямая AA1 перпендикулярна данной плоскости.
- Плоскость (BCC1) перпендикулярна прямой B1C1: Для проверки этого, нужно сравнить наклон прямой B1C1 с плоскостью (BCC1). Плоскость (BCC1) имеет угловой коэффициент a = 0, поскольку она параллельна плоскости xy, в то время как у прямой B1C1 угловой коэффициент x = x1 - x2 = 2 - 1 = 1. Так как угловые коэффициенты не равны, то прямая B1C1 не перпендикулярна данной плоскости.
- Плоскость (BCC1) перпендикулярна прямой BD: Для проверки этого, можно взять пару точек на прямой BD и на плоскости (BCC1). Например, возьмем точку B(2, 0, 0) и точку D(2, 1, 1) и проверим, пересекаются ли они. Подставим их координаты в уравнение плоскости (BCC1) и рассмотрим полученное равенство: 0 + 0 + 0 = 0. Так как координаты B и D удовлетворяют уравнению плоскости (BCC1), то прямая BD перпендикулярна данной плоскости.
- Плоскость (BCC1) перпендикулярна прямой AC1: Для проверки этого, можно взять пару точек на прямой AC1 и на плоскости (BCC1). Например, возьмем точку A(1, 0, 0) и точку C1(1, 1, 1) и проверим, пересекаются ли они. Подставим их координаты в уравнение плоскости (BCC1) и рассмотрим полученное равенство: 0 + 1 + 1 ≠ 0. Так как координаты A и C1 не удовлетворяют уравнению плоскости (BCC1), то прямая AC1 не перпендикулярна данной плоскости.
- Плоскость (BCC1) перпендикулярна прямой AB: Для проверки этого, нужно сравнить наклон прямой AB с плоскостью (BCC1). Плоскость (BCC1) имеет угловой коэффициент a = 0, поскольку она параллельна плоскости xy, в то время как у прямой AB угловой коэффициент x = x1 - x2 = 1 - 2 = -1. Так как угловые коэффициенты не равны, то прямая AB не перпендикулярна данной плоскости.
- Плоскость (BCC1) перпендикулярна прямой BD1: Для проверки этого, нужно сравнить наклон прямой BD1 с плоскостью (BCC1). Плоскость (BCC1) имеет угловой коэффициент a = 0, поскольку она параллельна плоскости xy, в то время как у прямой BD1 угловой коэффициент x = x1 - x2 = 2 - 2 = 0. Так как угловые коэффициенты равны, то прямая BD1 перпендикулярна данной плоскости.
Таким образом, прямая AA1 и прямая BD1 перпендикулярны плоскости (BCC1).
2. В ситуации, когда проведенная прямая не находится в плоскости фигуры, она может быть перпендикулярна плоскости фигуры, если она пересекает плоскость фигуры под прямым углом.
- Прямая проведена перпендикулярно основаниям трапеции: Эта ситуация описывает высоту трапеции. Высота трапеции является перпендикулярной к ее основаниям, поэтому проведенная прямая будет перпендикулярна плоскости трапеции.
- Прямая проведена перпендикулярно двум сторонам параллелограмма: Эта ситуация описывает диагональ параллелограмма. Диагональ параллелограмма соединяет противоположные вершины и пересекает их под прямым углом, поэтому проведенная прямая будет перпендикулярна плоскости параллелограмма.
- Прямая проведена перпендикулярно сторонам ромба с общей вершиной: Эта ситуация описывает высоту ромба. Высота ромба является перпендикулярной к его сторонам, поэтому проведенная прямая будет перпендикулярна плоскости ромба.
- Прямая проведена перпендикулярно двум диаметрам окружности: Эта ситуация описывает радиус окружности. Радиус окружности соединяет центр окружности с любой точкой на его окружности и пересекает его под прямым углом, поэтому проведенная прямая будет перпендикулярна плоскости окружности.
- Прямая проведена перпендикулярно диагоналям прямоугольника: Эта ситуация описывает диагональ прямоугольника. Диагональ прямоугольника соединяет противоположные вершины и пересекает их под прямым углом, поэтому проведенная прямая будет перпендикулярна плоскости прямоугольника.
- Плоскость (BCC1) перпендикулярна прямой AC: Для проверки этого, мы можем взять пару точек на прямой AC и на плоскости (BCC1). Например, возьмем точку A(1, 0, 0) и точку C(1, 1, 0) и проверим, пересекаются ли они. Подставим их координаты в уравнение плоскости (BCC1) и рассмотрим полученное равенство: 0 + 1 + 0 ≠ 0. Так как координаты A и C не удовлетворяют уравнению плоскости (BCC1), то прямая AC не перпендикулярна данной плоскости.
- Плоскость (BCC1) перпендикулярна прямой AA1: Для проверки этого, нужно сравнить наклон прямой AA1 с плоскостью (BCC1). Плоскость (BCC1) имеет угловой коэффициент a = 0, поскольку она параллельна плоскости xy, в то время как у прямой AA1 угловой коэффициент x = x1 - x2 = 1 - 1 = 0. Так как угловые коэффициенты равны, то прямая AA1 перпендикулярна данной плоскости.
- Плоскость (BCC1) перпендикулярна прямой B1C1: Для проверки этого, нужно сравнить наклон прямой B1C1 с плоскостью (BCC1). Плоскость (BCC1) имеет угловой коэффициент a = 0, поскольку она параллельна плоскости xy, в то время как у прямой B1C1 угловой коэффициент x = x1 - x2 = 2 - 1 = 1. Так как угловые коэффициенты не равны, то прямая B1C1 не перпендикулярна данной плоскости.
- Плоскость (BCC1) перпендикулярна прямой BD: Для проверки этого, можно взять пару точек на прямой BD и на плоскости (BCC1). Например, возьмем точку B(2, 0, 0) и точку D(2, 1, 1) и проверим, пересекаются ли они. Подставим их координаты в уравнение плоскости (BCC1) и рассмотрим полученное равенство: 0 + 0 + 0 = 0. Так как координаты B и D удовлетворяют уравнению плоскости (BCC1), то прямая BD перпендикулярна данной плоскости.
- Плоскость (BCC1) перпендикулярна прямой AC1: Для проверки этого, можно взять пару точек на прямой AC1 и на плоскости (BCC1). Например, возьмем точку A(1, 0, 0) и точку C1(1, 1, 1) и проверим, пересекаются ли они. Подставим их координаты в уравнение плоскости (BCC1) и рассмотрим полученное равенство: 0 + 1 + 1 ≠ 0. Так как координаты A и C1 не удовлетворяют уравнению плоскости (BCC1), то прямая AC1 не перпендикулярна данной плоскости.
- Плоскость (BCC1) перпендикулярна прямой AB: Для проверки этого, нужно сравнить наклон прямой AB с плоскостью (BCC1). Плоскость (BCC1) имеет угловой коэффициент a = 0, поскольку она параллельна плоскости xy, в то время как у прямой AB угловой коэффициент x = x1 - x2 = 1 - 2 = -1. Так как угловые коэффициенты не равны, то прямая AB не перпендикулярна данной плоскости.
- Плоскость (BCC1) перпендикулярна прямой BD1: Для проверки этого, нужно сравнить наклон прямой BD1 с плоскостью (BCC1). Плоскость (BCC1) имеет угловой коэффициент a = 0, поскольку она параллельна плоскости xy, в то время как у прямой BD1 угловой коэффициент x = x1 - x2 = 2 - 2 = 0. Так как угловые коэффициенты равны, то прямая BD1 перпендикулярна данной плоскости.
Таким образом, прямая AA1 и прямая BD1 перпендикулярны плоскости (BCC1).
2. В ситуации, когда проведенная прямая не находится в плоскости фигуры, она может быть перпендикулярна плоскости фигуры, если она пересекает плоскость фигуры под прямым углом.
- Прямая проведена перпендикулярно основаниям трапеции: Эта ситуация описывает высоту трапеции. Высота трапеции является перпендикулярной к ее основаниям, поэтому проведенная прямая будет перпендикулярна плоскости трапеции.
- Прямая проведена перпендикулярно двум сторонам параллелограмма: Эта ситуация описывает диагональ параллелограмма. Диагональ параллелограмма соединяет противоположные вершины и пересекает их под прямым углом, поэтому проведенная прямая будет перпендикулярна плоскости параллелограмма.
- Прямая проведена перпендикулярно сторонам ромба с общей вершиной: Эта ситуация описывает высоту ромба. Высота ромба является перпендикулярной к его сторонам, поэтому проведенная прямая будет перпендикулярна плоскости ромба.
- Прямая проведена перпендикулярно двум диаметрам окружности: Эта ситуация описывает радиус окружности. Радиус окружности соединяет центр окружности с любой точкой на его окружности и пересекает его под прямым углом, поэтому проведенная прямая будет перпендикулярна плоскости окружности.
- Прямая проведена перпендикулярно диагоналям прямоугольника: Эта ситуация описывает диагональ прямоугольника. Диагональ прямоугольника соединяет противоположные вершины и пересекает их под прямым углом, поэтому проведенная прямая будет перпендикулярна плоскости прямоугольника.