Question

Заранее то я полный ! 1)в треугольнике abc угол b=56,угол c равен 64 bc=3√3! найдите радиус описанной около этого треугольника окружности 2)в треугольнике авс угол в=36,ab=bc,ad-биссектриса.докажите что треугольник acd-равнобедренный

Answer 1

1) Первая задача решается немного легче на мой взгляд. Стоит вспомнить теорему синусов в расширенном виде.

Здесь

$\frac{BC}{\sin\angle A}=2R\quad (1)$

R - искомый радиус окружности.

Теперь надо найти угол А. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

Остальные два угла известны по условию задачи.

$\angle A=180^0-56^0-64^0$

$\angle A=60^0$

Подставим в (1)

$\frac{3\sqrt{3}}{\sin60^0}=2R$

$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R$

$\frac{2*3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2R$

сократим на 2 обе части

$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=R$

R=3.

2) Докажем, что треугольник ACD - равнобедренный. Смотри рисунок во вложении. Так как АВ=ВС, то углы ВАС и ВСА равны. Вычислим сколько градусов составляют эти углы. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. В самом треугольнике АВС

Пусть

$\angle BAC=\angle BCA=x$

180=x+x+36

180=2x+36

2x=180-36

2x=144

x=72

Так как AD - биссектриса, то

$\angle BAD=\angle DAC=0,5\angle BAC$

$\angle BAD=\angle DAC=0,5*72^0$

$\angle BAD=\angle DAC=36^0$

Теперь знаем два угла в треугольнике ADC.

$\angle DAC=36^0, \quad \angle DCA=72^0$

По той же теореме о сумме углов в треугольнике

$\angle ADC=180^0-\angle DCA-\angle DAC$

$\angle ADC=180^0-72^0-36^0$

$\angle ADC=72^0$

Получается, что

$\angle DCA=\angle ADC=72^0$

Значит два угла в треугольнике ACD - равны, поэтому треугольник равнобедренный.

Answer 2

1. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Найдем угол A: 180 - ( 56 + 64 ) = 60°.

BC = 3√3 ( по условию ), противолежащий угол A = 60°.

По теореме синусов:

(3√3) / sin 60° = 2R

(3√3) / (√3/2) = 2R

6 = 2R

R = 3.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Найдем углы при основании треугольника ABC: (180 - 36) / 2 = 72°.

Значит угол BAC = BCA = 72°.

AD - биссектриса, делит угол BAC на два равных угла: BAD = DAC = 36°.

В треугольнике ADC нам известны два угла: DAC = 36°, DCA = 72°. Найдем третий угол:

180 - ( 72 + 36 ) = 72. Значит треугольник ADC - равнобедренный, так как углы при его основании равны.