Площадь квадрата равна 100. Если представить 100 в виде суммы натуральных чисел, то число слагаемых будет наибольшим, если разность между числами равна одному. Возьмем прямоугольники площади 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Их суммарная площадь равна 55. Значит, сумма площадей остальных прямоугольников равна 45. Заметим, что если площадь прямоугольника больше 10, то она не может быть простым числом, иначе такой прямоугольник имеет сторону больше 10 и не помещается в квадрат 10×10 . Составными числами больше десяти являются числа 12, 14, 15, 16, 18, 19,… Любые четыре из них в сумме дают число больше 45. Сумму, равную 45, дают, например, такие тричисла: 12,15,18 или 14,15,16. Получаем, что число прямоугольников меньше или равно 13. Пример возможного расположения для 13 прямоугольников приведен на рисунке.
Продолжим медиану ВМ и на продолжении отложим отрезок МК, равный ВМ. Тогда фигура АВСК - параллелограмм ( по свойству параллелограмма: если диагонали четырехугольника делятся в точке их пересечения пополам, то этот четырехугольник параллелограмм). Тогда ВК²+АС²=2*АВ²+2*ВС². 976=776+2*АВ². АВ²=200, Отсюда АВ=10√2. Итак, АВ=10√2≈14,1 ВС=2√97≈19,7 и АС=20. По формуле Герона: Sabc=√p(p-a)(p-b)(p-c). В нашем случае p≈26,9. Sabc= √(26,9)(12,8)(7,2)(6,9) ≈ √17105,8 ≈ 130,8. P.S. За "неудобные" цифры вопрос к составителю задачи.
