Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, в нем проведена высота ВН. Найдите боковую сторону и углы треугольника АВС, если основание АС=8, высота ВН=4√3. (Запиши подробное решение задачи)
А) Прямоугольные ΔСQB и ΔAPB подобны по острому углу (угол В-общий) СQ/AP=QB/PB=ВС/АВ Откуда QB/ВС=РВ/АВ Значит ΔАВС и ΔРВQ подобны по 2 пропорциональным сторонам (QB/ВС=РВ/АВ) и углу между ними (угол В-общий). Т.к. у подобных треугольников углы равны, то <BPQ=<BAC, ч.т.д. б) Sавс=96, Sаqрс=72, значит Sрвq=Sавс-Sаqрс=96-72=24 Отношение площадей 2 подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: Sрвq/Sавс=24/96=1/4 Значит QB/ВС=РВ/АВ=PQ/AC=1/2 Из прямоугольного Δ СQB QB/ВС=сos B, cos B=1/2, значит <B=60° Радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен: R=AC/2sin B AC=2R*sin 60= 2*16/√3*√3/2=16 PQ=AC/2=16/2=8
Круг с центром О Хорда АВ=64, хорда СД=48, АВ||CД Опустим из О перпендикуляр ОН на СД, он же перпендикулярен АВ и пересекает АВ в точке Е. ЕН=8 - расстояние между хордами: ОН=ОЕ+ЕН=ОЕ+8 ΔОАВ - равнобедренный (ОА=ОВ - радиусы), тогда ОЕ - высота, медиана (АЕ=ЕВ=32) и биссектриса: ОА²=АЕ²+ОЕ²=1024+ОЕ² аналогично ΔОСД - равнобедренный (ОС=ОД - радиусы), тогда ОН - высота, медиана (СН=НД=24) и биссектриса: ОС²=СН²+ОН²=576+(ОЕ+8)²=576+ОЕ²+16ОЕ+64=ОЕ²+16ОЕ+640 Т.к. ОА=ОС, то 1024+ОЕ²=ОЕ²+16ОЕ+640 16ОЕ=384 ОЕ=24 Значит радиус ОА=√1024+576=1600=40 Диаметр круга равен 2ОА=2*40=80
СQ/AP=QB/PB=ВС/АВ
Откуда QB/ВС=РВ/АВ
Значит ΔАВС и ΔРВQ подобны по 2 пропорциональным сторонам (QB/ВС=РВ/АВ) и углу между ними (угол В-общий). Т.к. у подобных треугольников углы равны, то <BPQ=<BAC, ч.т.д.
б) Sавс=96, Sаqрс=72, значит Sрвq=Sавс-Sаqрс=96-72=24
Отношение площадей 2 подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: Sрвq/Sавс=24/96=1/4
Значит QB/ВС=РВ/АВ=PQ/AC=1/2
Из прямоугольного Δ СQB QB/ВС=сos B, cos B=1/2, значит <B=60°
Радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен:
R=AC/2sin B
AC=2R*sin 60= 2*16/√3*√3/2=16
PQ=AC/2=16/2=8