Даны точки A(0;3;-1), B(-1;-2;5), C(1;0;-4), D(-3;-1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
Находим векторы АВ и АС: АВ = (-1; -5; 6), АС = (1; -3; -3).
Их векторное произведение равно:
i j k| i j
-1 -5 6| -1 -5
1 -3 -3| 1 -3 = 15i + 6j + 3k - 3j + 18i + 5k =
= 33i + 3j + 8k.
Нормальный вектор плоскости АВС это (33; 3; 8).
Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
Подставим координаты точки А: 33*0 + 3*3 + 8*(-1) + D = 0.
1 + D = 0. отсюда D = -1.
Получаем уравнение плоскости АВС: 33x + 3y + 8z - 1 = 0.
2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС;
Для параллельной плоскости нормальный вектор сохраняется.
Подставим координаты точки D(-3;-1;-2):
33*(-3) + 3*(-1) + 8*(-2) + D = 0,
-99 - 3 - 16 + D = 0,
-118 + D = 0, отсюда D = 118.
Уравнение 33x + 3y + 8z + 118 = 0.
3) расстояние от точки D до плоскости ABC;
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0
используем формулу:d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²)
Подставим в формулу данные:
d = |33·(-3) + 3·(-1) + 8·(-2) + (-1)|/ √(33² + 3² + 8²) = |-99 - 3 - 16 - 1|/ √(1089 + 9 + 64) = 119/ √1162 = 17√1162/166 ≈ 3.49095.
4) канонические уравнения прямой АВ; точка A(0;3;-1).
Вектор АВ найден выше: АВ = (-1; -5; 6).
Уравнение АВ: x/(-1) = (y - 3)/(-5) = (z + 1)/6.
5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB; Направляющий вектор АВ(-1; -5; 6) для параллельной прямой сохраняется. Подставляем координаты точки D(-3;-1;-2).
Уравнение : (x + 3)/(-1) = (y + 1)/(-5) = (z + 2)/6.
6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D(-3;-1;-2) перпендикулярно прямой AB.
Вектор АВ (-1; -5; 6) будет нормальным вектором этой плоскости.
Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
Подставим координаты вектора и точки D:
(-1)*(-3) + (-5)*(-1) + 6*(-2) + D = 0.
-4 + D = 0. отсюда D = 4.
Уравнение: (-1)x + (-5)y + 6z + 4 = 0 или с положительным коэффициентом перед х:
x + 5y - 6z - 4 = 0.
Точка, лежащая на оси координат, имеет хотя бы одну нулевую координату. Расстояние между двумя точками определяется по формуле
----------------------------------------------------------------
а) А (-3;5) и В (6;4) Нужно найти точку с координатами (x; y), равноудаленную от точек А и В
(-3 - x)² + (5 - y)² = (6 - x)² + (4 - y)²
9 + 6x + x² + 25 - 10y + y² = 36 - 12x + x² + 16 - 8y + y²
6x - 10y + 34 = -12x - 8y + 52
18x = 2y + 18; 9x = y + 9
x₁ = 0; 9·0 = y₁ + 9; ⇒ y₁ = -9
y₂ = 0; 9x₂ = 0 + 9; ⇒ x₂ = 1
ответ: две точки с координатами M(0; -9) и N(1; 0)
----------------------------------------------------------------
б) С (4;-3) и D (8;1) Нужно найти точку с координатами (x; y), равноудаленную от точек C и D
(4 - x)² + (-3 - y)² = (8 - x)² + (1 - y)²
16 - 8x + x² + 9 + 6y + y² = 64 - 16x + x² + 1 - 2y + y²
-8x + 6y + 25 = -16x - 2y + 65
8x = -8y + 40; x = -y + 5
x₁ = 0; 0 = -y₁ + 5; ⇒ y₁ = 5
y₂ = 0; x₂ = 0 + 5; ⇒ x₂ = 5
ответ: две точки с координатами F(0; 5) и K(5; 0)
прямоугольная трапеция на расст. 9м