Question

Доведіть, що ∆MNK∞∆M1N1K1, якщо: 1) кут M = M1, MN = 5, MK = 6, M1N1 = 10, M1K1 = 12;
2) кут M = 90°, кут N = 50°, кут K1 = 40°, кут N1 = 50°;
3) MN = 3, NK = 4, MK = 5, M1N1 = 6, N1K1 = 8, M1K1 = 10.​

Answer 1

Для доказательства, что два треугольника ∆MNK и ∆M1N1K1 равны, нам нужно убедиться, что они удовлетворяют одному из критериев равенства треугольников.

Первый способ:
У нас есть следующие данные: M = M1, MN = 5, MK = 6, M1N1 = 10 и M1K1 = 12.

Для начала посмотрим на стороны треугольников:
MN = 5, M1N1 = 10.
MK = 6, M1K1 = 12.

Видим, что отношение сторон треугольников одинаковое: MN / M1N1 = 5/10 = 1/2 и MK / M1K1 = 6/12 = 1/2.

Теперь рассмотрим углы треугольников:
M = M1.

И так как сторона сторона сторона (∆SAS - Side-Angle-Side), то согласно критерию ∆MNK∞∆M1N1K1, мы можем сделать вывод, что треугольники равны.

Второй способ:
У нас есть следующие данные: M = 90°, N = 50°, K1 = 40° и N1 = 50°.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Значит, в треугольнике ∆MNK: M + N + K = 180°.

В нашем случае M = 90°, N = 50°, K = 180° - 90° - 50° = 40°.

Теперь сравним углы треугольников:
K1 = 40°, N1 = 50°.

Углы K1 и N1 также совпадают, значит углы треугольников совпадают.

Так как по стороне (MN = N1M1) и углу (M = M1) треугольники совпадают, то по критерию ∆ASA (∆Angle-Side-Angle) треугольники равны.

Третий способ:
У нас есть следующие данные: MN = 3, NK = 4, MK = 5, M1N1 = 6, N1K1 = 8 и M1K1 = 10.

Сравним соотношения сторон треугольников:
MN / M1N1 = 3/6 = 1/2,
MK / M1K1 = 5/10 = 1/2,
NK / N1K1 = 4/8 = 1/2.

Заметим, что отношения сторон треугольников совпадают: MN / M1N1 = MK / M1K1 = NK / N1K1 = 1/2.

Теперь рассмотрим углы треугольников:
Нам не даны конкретные значения углов, но мы наблюдаем, что треугольники имеют общую сторону MK и сравнимые пропорции соответствующих сторон.

Если стороны треугольников and отношения их сторон совпадают, то эти треугольники равны по критерию ∆SSS (∆Side-Side-Side).

Таким образом, во всех трех способах мы доказали, что треугольники ∆MNK и ∆M1N1K1 равны.