Question

Вершину правильного треугольника соединили отрезком с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 7 : 8. в образовавшейся при этом два треугольника вписали круги, площадь одного из которых равна 81. найдите площадь второго круга.

Answer 1

Найдем, как связаны радиусы вписанных окружностей.

Пусть сторона правильного треугольника равна a.

Сначала нужно найти длину отрезка AD. Проще всего это сделать по теореме косинусов.

Посмотрим на треугольник ABD. В нем BD = 7/15 a, AB = a, угол B = 60 градусов.

Тогда $AD^2=AB^2+BD^2-2AB\cdot BD\cdot\cos B=a^2(1+\frac{49}{225}-\frac{7}{15})$,

AD = 13/15 a

Периметр треугольника ACD = a + 8/15 a + 13/15 a = 36/15 a, треугольника ABD = a + 7/15 a + 13/15 a = 35/15 a.

С одной стороны, площадь треугольника - половина прооизведения высоты на сторону, с другой - половина произведения периметра на радиус списанной окружности. Если считать по первой формуле, получим, что S1/S2 = CD/DB = 8/7 (здесь индекс 1 соответствует треугольнику ACD). По второй: S1/S2 = (36*r1)/(35*r2).

Итак, $\frac{36r_1}{35r_2}=\frac87\\ \frac{r_1}{r_2}=\frac{10}9$

Площади кругов пропорциональны квадратам радиусов, поэтому площади относятся как 100 к 81.

Есдиственный вопрос, площадь какого из кругов дана. Отсюда и 2 ответа: 81*100/81=100 или 81*81/100=65.61

ответ: 100 или 65,61.